Bài 4:
a: Theo Vi-et, ta có:
\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-5\end{cases}\)
\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(2m-5\right)\)
\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(2m-5\right)\)
\(=4\left(m^2-2m+1-2m+5\right)=4\left(m^2-4m+6\right)\)
\(=4\left(m^2-4m+4+2\right)=4\left(m-2\right)^2+8>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Để phương trình có hai nghiệm dương thì \(\begin{cases}x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)
=>2(m-1)>0 và 2m-5>0
=>m>5/2
b: \(A=\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2\)
\(=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2\cdot\frac{x_1}{x_2}\cdot\frac{x_2}{x_1}=\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\right)^2-2\)
\(=\left\lbrack\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\right\rbrack^2-2\)
\(=\left\lbrack\frac{\left(2m-2\right)^2-2\left(2m-5\right)}{\left(2m-5\right)}\right\rbrack^2-2=\left\lbrack\frac{4m^2-8m+4-4m+10}{2m-5}\right\rbrack^2-2\)
\(=\left\lbrack\frac{4m^2-12m+14}{2m-5}\right\rbrack^2-2\)
Để A nguyên thi \(\left\lbrack\frac{4m^2-12m+14}{2m-5}\right\rbrack^2\) nguyên
=>\(\frac{4m^2-12m+14}{2m-5}\) nguyên
=>\(4m^2-10m-2m+5+9\) ⋮2m-5
=>9⋮2m-5
=>2m-5∈{1;-1;3;-3;9;-9}
=>2m∈{6;4;8;2;14;-4}
=>m∈{3;2;4;1;7;-2}
mà m là số nguyên dương và m>5/2
nên m∈{3;4;7}
Bài 5:
a: \(\Delta=\left(2m\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2-2\right)=4m^2-8m^2+8=-4m^2+8\)
Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0
=>\(-4m^2+8\ge0\)
=>\(-4m^2\ge-8\)
=>\(m^2\le2\)
=>\(-\sqrt2\le m\le\sqrt2\)
