Bài 2:
a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\left(2m+10\right)\)
\(=4\left(m^2+2m+1\right)-4\left(2m+10\right)=4\left(m^2+2m+1-2m-10\right)\)
\(=4\left(m^2-9\right)=4\left(m-3\right)\left(m+3\right)\)
Để phương trình (*) có hai nghiệm thì Δ>=0
=>4(m-3)(m+3)>=0
=>(m-3)(m+3)>=0
=>\(\left[\begin{array}{l}m\ge3\\ m\le-3\end{array}\right.\)
b: Theo Vi-et, ta có:
\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m+1\right)=2m+2\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m+10\end{cases}\)
\(P=6x_1x_2+x_1^2+x_2^2\)
\(=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+4x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2\)
\(=\left(2m+2\right)^2+4\left(2m+10\right)\)
\(=4m^2+8m+4+8m+40=4m^2+16m+44=4m^2+16m+16+28\)
\(=\left(2m+4\right)^2+28\ge28\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi 2m+4=0
=>2m=-4
=>m=-2(loại)
=>P không có giá trị nhỏ nhất
Bài 3:
a: \(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot1=4m^2-4\)
để phương trình có hai nghiệm dương thì \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4m^2-4>0\\ 2m>0\\ 1>0\left(đúng\right)\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}m^2>1\\ m>0\end{cases}\)
=>m>1
b: \(0
=>\(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\le0\)
=>P<=0
\(P^2=\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}\)
=2m-2
=>\(P=-\sqrt{2m-2}\)
