Question

Answer 1

sqrt(2 - x^2) + sqrt(2 - 1/x^2) = 4 - (x + 1/x)

Điều kiện:
2 - x^2 >= 0 và 2 - 1/x^2 >= 0
=> 1/sqrt(2) <= |x| <= sqrt(2)

Nếu x < 0 thì
x + 1/x <= -2
=> 4 - (x + 1/x) >= 6

Trong khi đó
sqrt(2 - x^2) + sqrt(2 - 1/x^2) <= sqrt(2) + sqrt(2) = 2sqrt(2) < 6

Vô lý. Vậy x > 0.

Ta có:
(2 - x)^2 - (2 - x^2) = 2(x - 1)^2 >= 0
và vì x <= sqrt(2) < 2 nên 2 - x >= 0

Suy ra
sqrt(2 - x^2) <= 2 - x

Tương tự:
(2 - 1/x)^2 - (2 - 1/x^2) = 2(1 - 1/x)^2 >= 0
và vì x >= 1/sqrt(2) nên 2 - 1/x >= 0

Suy ra
sqrt(2 - 1/x^2) <= 2 - 1/x

Cộng hai bất đẳng thức:
sqrt(2 - x^2) + sqrt(2 - 1/x^2) <= 4 - x - 1/x

Mà đề bài cho đúng bằng:
sqrt(2 - x^2) + sqrt(2 - 1/x^2) = 4 - x - 1/x

Nên phải có đồng thời
sqrt(2 - x^2) = 2 - x
và
sqrt(2 - 1/x^2) = 2 - 1/x

Điều này chỉ xảy ra khi
x = 1

Vậy nghiệm là:
x = 1

sqrt(8 - x^2) + sqrt((x^2 - 2)/(2x^2)) = 5 - (1 + x^2)/x

Ta viết vế phải là:
5 - x - 1/x

Điều kiện:
8 - x^2 >= 0 và (x^2 - 2)/(2x^2) >= 0
=> sqrt(2) <= |x| <= 2sqrt(2)

Nếu x < 0 thì
5 - x - 1/x > 5

Còn
sqrt(8 - x^2) <= sqrt(8) = 2sqrt(2) < 3
và
sqrt((x^2 - 2)/(2x^2)) < 1

Nên vế trái < 4, vô lý.
Vậy x > 0.

Ta có:
(4 - x)^2 - (8 - x^2) = 2(x - 2)^2 >= 0
và vì x <= 2sqrt(2) < 4 nên 4 - x > 0

Suy ra
sqrt(8 - x^2) <= 4 - x

Lại có:
(1 - 1/x)^2 - (x^2 - 2)/(2x^2) = (x - 2)^2/(2x^2) >= 0
và vì x >= sqrt(2) > 1 nên 1 - 1/x > 0

Suy ra
sqrt((x^2 - 2)/(2x^2)) <= 1 - 1/x

Cộng lại:
sqrt(8 - x^2) + sqrt((x^2 - 2)/(2x^2)) <= 5 - x - 1/x

Mà đề bài cho bằng đúng vế phải, nên phải có dấu bằng ở cả hai bất đẳng thức trên.
Suy ra
x = 2

Vậy nghiệm là:
x = 2

Answer 2

sqrt(2x - 3) + sqrt(5 - 2x) = 3x^2 - 12x + 14

Điều kiện:
2x - 3 >= 0 và 5 - 2x >= 0
=> 3/2 <= x <= 5/2

Đặt
A = sqrt(2x - 3) + sqrt(5 - 2x)

Khi đó
A^2 = 2x - 3 + 5 - 2x + 2sqrt((2x - 3)(5 - 2x))
= 2 + 2sqrt((2x - 3)(5 - 2x))

Mà
(2x - 3)(5 - 2x) = -4x^2 + 16x - 15 = 1 - 4(x - 2)^2 <= 1

Nên
A^2 <= 2 + 2.1 = 4
=> A <= 2

Mặt khác
3x^2 - 12x + 14 = 3(x - 2)^2 + 2 >= 2

Do A bằng vế phải nên ta có
2 <= A <= 2
=> A = 2

Suy ra
3(x - 2)^2 + 2 = 2
=> x = 2

Thử lại:
sqrt(1) + sqrt(1) = 2
vế phải cũng bằng 2

Vậy nghiệm là:
x = 2

13sqrt(x^2 - x^4) + 9sqrt(x^2 + x^4) = 16

Điều kiện:
x^2 - x^4 >= 0
=> x^2(1 - x^2) >= 0
=> -1 <= x <= 1

Đặt
t = x^2, với 0 <= t <= 1

Phương trình trở thành:
13sqrt(t - t^2) + 9sqrt(t + t^2) = 16

Chuyển vế:
13sqrt(t - t^2) = 16 - 9sqrt(t + t^2)

Bình phương:
169(t - t^2) = 256 - 288sqrt(t + t^2) + 81(t + t^2)

Rút gọn:
144sqrt(t + t^2) = 125t^2 - 44t + 128

Bình phương tiếp:
20736(t + t^2) = (125t^2 - 44t + 128)^2

Rút gọn được:
(5t - 4)^2(625t^2 + 560t + 1024) = 0

Vì
625t^2 + 560t + 1024 > 0
nên
5t - 4 = 0
=> t = 4/5

Mà t = x^2 nên
x^2 = 4/5
=> x = 2/sqrt(5) hoặc x = -2/sqrt(5)

Vậy nghiệm là:
x = 2/sqrt(5) hoặc x = -2/sqrt(5)

Answer 3

sqrt(3x^3 + 2x^2 + 2) + sqrt(-3x^3 + x^2 + 2x - 1) = 2x^2 + 2x + 2

Đặt
A = 3x^3 + 2x^2 + 2
B = -3x^3 + x^2 + 2x - 1

Phương trình là:
sqrt(A) + sqrt(B) = 2x^2 + 2x + 2

Ta có bất đẳng thức:
(sqrt(A) + sqrt(B))^2 <= 2(A + B)

Nên
sqrt(A) + sqrt(B) <= sqrt(2(A + B))

Mà
A + B = 3x^2 + 2x + 1

Nên
sqrt(A) + sqrt(B) <= sqrt(6x^2 + 4x + 2)

Lại có:
(2x^2 + 2x + 2)^2 - (6x^2 + 4x + 2)
= 2(x + 1)^2(2x^2 + 1) >= 0

Suy ra
sqrt(6x^2 + 4x + 2) <= 2x^2 + 2x + 2

Vậy
sqrt(A) + sqrt(B) <= sqrt(6x^2 + 4x + 2) <= 2x^2 + 2x + 2

Nhưng theo đề bài:
sqrt(A) + sqrt(B) = 2x^2 + 2x + 2

Nên mọi dấu <= ở trên đều phải là dấu =.

Từ
sqrt(6x^2 + 4x + 2) = 2x^2 + 2x + 2
suy ra
2(x + 1)^2(2x^2 + 1) = 0
=> x = -1

Thử lại:
A = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2 = 1
B = -3(-1)^3 + (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1

Vế trái = 1 + 1 = 2
Vế phải = 2.1 - 2 + 2 = 2

Đúng.

Vậy nghiệm là:
x = -1