Question

Answer 1

√(x² + 5x + 5) + x² = √(x + 2) - 3x - 2

Điều kiện: x + 2 ≥ 0 và x² + 5x + 5 ≥ 0.

Chuyển vế:
√(x² + 5x + 5) - √(x + 2) = -(x² + 3x + 2) = -(x + 1)(x + 2)

Rational hóa vế trái:
[(x² + 5x + 5) - (x + 2)] / [√(x² + 5x + 5) + √(x + 2)] = -(x + 1)(x + 2)

Suy ra
(x + 1)(x + 3) / [√(x² + 5x + 5) + √(x + 2)] = -(x + 1)(x + 2)

Nên
(x + 1)[ (x + 3) / (√(x² + 5x + 5) + √(x + 2)) + (x + 2) ] = 0

Vì x + 2 ≥ 0, x + 3 > 0 và mẫu dương nên ngoặc vuông dương.
Do đó x + 1 = 0.

Vậy nghiệm là x = -1.

√(x² + x - 2) + x² = √(2(x - 1)) + 1

Điều kiện: x² + x - 2 ≥ 0 và x - 1 ≥ 0.
Suy ra x ≥ 1.

Chuyển vế:
√(x² + x - 2) - √(2x - 2) = 1 - x² = -(x - 1)(x + 1)

Vế trái:
√(x - 1)(√(x + 2) - √2) ≥ 0

Vế phải:
-(x - 1)(x + 1) ≤ 0

Hai vế bằng nhau nên chúng phải cùng bằng 0.
Suy ra x - 1 = 0.

Vậy nghiệm là x = 1.

Answer 2

∛(x² + 3x + 1) + x² = ∛(5x + 1) + 2x

Chuyển vế:
∛(x² + 3x + 1) - ∛(5x + 1) = 2x - x² = -x(x - 2)

Đặt
a = ∛(x² + 3x + 1), b = ∛(5x + 1)

Khi đó
a - b = [a³ - b³] / (a² + ab + b²)
= (x² - 2x) / (a² + ab + b²)
= x(x - 2) / (a² + ab + b²)

Nên
x(x - 2) / (a² + ab + b²) = -x(x - 2)

Suy ra
x(x - 2)[ 1 / (a² + ab + b²) + 1 ] = 0

Vì a² + ab + b² > 0 nên
x(x - 2) = 0

Vậy nghiệm là x = 0 hoặc x = 2.

∛(x + 1) + ∛(2x - 3) + 3x = 2

Xét hàm
f(x) = ∛(x + 1) + ∛(2x - 3) + 3x

Mỗi hạng tử đều tăng nên f(x) tăng trên R.
Vì vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm.

Thử x = 2/3:
∛(5/3) + ∛(-5/3) + 2 = 2

Đúng.

Vậy nghiệm duy nhất là x = 2/3.

Answer 3

√(3x + 1) - √(6 - x) + 3x² - 14x - 8 = 0

Điều kiện: -1/3 ≤ x ≤ 6.

Chuyển vế:
√(6 - x) - √(3x + 1) = 3x² - 14x - 8

Đặt
g(x) = √(6 - x) - √(3x + 1)
h(x) = 3x² - 14x - 8

Ta có g(x) giảm trên [-1/3, 6].

Xét trên đoạn [-1/3, 7/3]:
h(x) ≤ h(-1/3) = -3
còn
g(x) ≥ g(7/3) = √(11/3) - 2√2 > -3

Nên trên [-1/3, 7/3] không có nghiệm.

Xét trên đoạn [7/3, 6]:
h(x) tăng, g(x) giảm
nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm.

Thử x = 5:
√16 - √1 + 75 - 70 - 8 = 4 - 1 - 3 = 0

Vậy nghiệm duy nhất là x = 5.

√(x² + 2x + 3) + √(x + 2) = √(x² + 1) + 1

Điều kiện: x ≥ -2.

Chuyển vế:
√(x² + 2x + 3) - √(x² + 1) = 1 - √(x + 2)

Rational hóa hai vế:

Vế trái:
[(x² + 2x + 3) - (x² + 1)] / [√(x² + 2x + 3) + √(x² + 1)]
= 2(x + 1) / [√(x² + 2x + 3) + √(x² + 1)]

Vế phải:
[1 - (x + 2)] / [1 + √(x + 2)]
= -(x + 1) / [1 + √(x + 2)]

Suy ra
(x + 1)[ 2 / (√(x² + 2x + 3) + √(x² + 1)) + 1 / (1 + √(x + 2)) ] = 0

Ngoặc vuông dương nên
x + 1 = 0

Vậy nghiệm là x = -1.

Answer 4

∛(2x - 3) + √(3x + 1) = 2 - x

Điều kiện: x ≥ -1/3.

Đưa về:
∛(2x - 3) + √(3x + 1) + x = 2

Xét hàm
f(x) = ∛(2x - 3) + √(3x + 1) + x, với x ≥ -1/3

Mỗi hạng tử đều tăng nên f(x) tăng.
Do đó phương trình có nhiều nhất một nghiệm.

Thử x = 1:
∛(-1) + √4 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2

Đúng.

Vậy nghiệm duy nhất là x = 1.

∛(x + 2) + 6 = ∛(5 - x) - x

Chuyển vế:
∛(x + 2) - ∛(5 - x) + x = -6

Xét hàm
f(x) = ∛(x + 2) - ∛(5 - x) + x

Hàm ∛(x + 2) tăng, hàm -∛(5 - x) cũng tăng, và x tăng.
Vì vậy f(x) tăng trên R.
Suy ra phương trình có nhiều nhất một nghiệm.

Thử x = -3:
∛(-1) - ∛8 - 3 = -1 - 2 - 3 = -6

Đúng.

Vậy nghiệm duy nhất là x = -3.

Answer 5

2√(x² - 4x - 4) + x = 2√(x - 1) - 4

Điều kiện:
x - 1 ≥ 0 và x² - 4x - 4 ≥ 0

Suy ra
x ≥ 1 và x ≥ 2 + 2√2
nên x ≥ 2 + 2√2 > 4

Khi đó
vế trái = 2√(x² - 4x - 4) + x > x

Còn
x > 2√(x - 1) - 4
vì
x + 4 > 2√(x - 1)

Mà điều này luôn đúng do
(x + 4)² - 4(x - 1) = x² + 4x + 20 > 0

Vậy vế trái > x > vế phải, vô lý.

Do đó phương trình vô nghiệm.

4x³ + 5x² + 1 = √(3x + 1) - 3x

Điều kiện: x ≥ -1/3.

Chuyển vế:
√(3x + 1) = 4x³ + 5x² + 3x + 1

Bình phương:
3x + 1 = (4x³ + 5x² + 3x + 1)²

Suy ra
(4x³ + 5x² + 3x + 1)² - (3x + 1) = 0

Phân tích:
x(4x + 1)(4x⁴ + 9x³ + 10x² + 7x + 3) = 0

Xét
4x⁴ + 9x³ + 10x² + 7x + 3
= x²(4x² + 9x + 10) + 7x + 3

Với x ≥ -1/3:
4x² + 9x + 10 > 0
và
7x + 3 ≥ 2/3 > 0

Nên
4x⁴ + 9x³ + 10x² + 7x + 3 > 0

Do đó chỉ còn
x = 0 hoặc 4x + 1 = 0

Suy ra
x = 0 hoặc x = -1/4

Thử lại đều thỏa mãn.

Vậy nghiệm là x = 0 hoặc x = -1/4.