Question

Answer 1

Giải các phương trình:

căn(x - 1/x) + căn(1 - 1/x) = x

Điều kiện:
x - 1/x >= 0 và 1 - 1/x >= 0.

Từ 1 - 1/x >= 0 suy ra x >= 1 hoặc x < 0.
Kết hợp với x - 1/x >= 0, rồi vì vế trái luôn không âm nên x phải không âm.
Suy ra x >= 1.

Chuyển vế:
căn(x - 1/x) = x - căn(1 - 1/x)

Bình phương hai vế:
x - 1/x = x^2 + 1 - 1/x - 2x.căn(1 - 1/x)

Rút gọn:
x = x^2 + 1 - 2x.căn(1 - 1/x)

Suy ra:
2x.căn(1 - 1/x) = x^2 - x + 1

Bình phương tiếp:
4x^2(1 - 1/x) = (x^2 - x + 1)^2

4x(x - 1) = (x^2 - x + 1)^2

Chuyển vế:
x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0

Phân tích:
x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = (x^2 - x - 1)^2

Vậy:
x^2 - x - 1 = 0

x = (1 +- căn5)/2

Do x >= 1 nên nhận:
x = (1 + căn5)/2

Đáp số câu 1:
x = (1 + căn5)/2

Answer 2

căn(x - 4) + căn(6 - x) = x^2 - 10x + 27

Điều kiện:
4 <= x <= 6

Ta có:
x^2 - 10x + 27 = (x - 5)^2 + 2 >= 2

Mặt khác:
căn(x - 4) + căn(6 - x) <= căn(2[(x - 4) + (6 - x)]) = căn4 = 2

Vậy:
vế trái <= 2, vế phải >= 2

Để phương trình xảy ra thì phải có đồng thời:
vế trái = 2 và vế phải = 2

Vế phải = 2
<=> (x - 5)^2 = 0
<=> x = 5

Thử lại:
căn(5 - 4) + căn(6 - 5) = 1 + 1 = 2
và
5^2 - 10.5 + 27 = 25 - 50 + 27 = 2

Đúng.

Đáp số câu 2:
x = 5

Answer 3

căn(x^2 + x - 1) + căn(-x^2 + x + 1) = x^2 - x + 2

Đặt:
A = x^2 + x - 1
B = -x^2 + x + 1

Khi đó:
A + B = 2x

Vế trái:
cănA + cănB <= căn(2(A + B)) = căn(4x) = 2cănx

Do đó:
căn(x^2 + x - 1) + căn(-x^2 + x + 1) <= 2cănx

Bây giờ xét:
x^2 - x + 2 - 2cănx

Đặt t = cănx >= 0, khi đó x = t^2.
Ta được:
x^2 - x + 2 - 2cănx
= t^4 - t^2 + 2 - 2t
= (t - 1)^2(t^2 + 2t + 2) >= 0

Suy ra:
x^2 - x + 2 >= 2cănx

Vậy:
vế trái <= 2cănx <= vế phải

Để có dấu bằng, phải xảy ra đồng thời:

cănA + cănB = 2cănx2cănx = x^2 - x + 2

Điều 2 cho:
(t - 1)^2(t^2 + 2t + 2) = 0
Vì t^2 + 2t + 2 > 0 nên t = 1
Suy ra x = 1

Thử lại:
căn(1 + 1 - 1) + căn(-1 + 1 + 1) = căn1 + căn1 = 2
vế phải = 1 - 1 + 2 = 2

Đúng.

Đáp số câu 3:
x = 1

Answer 4

2x^3 + 2x^2 + 1 = căn(1 + 2x) nhân căn bậc ba(1 - 3x)

Điều kiện:
1 + 2x >= 0
<=> x >= -1/2

Ngoài ra, nếu x > 1/3 thì 1 - 3x < 0 nên vế phải âm, trong khi
2x^3 + 2x^2 + 1 > 0.
Vậy không thể có nghiệm khi x > 1/3.

Do đó chỉ cần xét:
-1/2 <= x <= 1/3

Xét vế trái:
2x^3 + 2x^2 + 1 = 1 + 2x^2(x + 1)

Vì x >= -1/2 nên x + 1 > 0, lại có x^2 >= 0
nên:
2x^3 + 2x^2 + 1 >= 1

Dấu bằng xảy ra khi x = 0.

Xét vế phải:
căn(1 + 2x) nhân căn bậc ba(1 - 3x)

Trên đoạn [-1/2, 1/3], giá trị lớn nhất của biểu thức này đạt tại x = 0, khi đó bằng 1.
Nên:
căn(1 + 2x) nhân căn bậc ba(1 - 3x) <= 1

Vậy:
vế trái >= 1, vế phải <= 1

Muốn bằng nhau thì phải có:
vế trái = 1 và vế phải = 1
Suy ra x = 0

Thử lại:
2.0^3 + 2.0^2 + 1 = 1
và
căn1 nhân căn bậc ba1 = 1

Đúng.

Đáp số câu 4:
x = 0