Question

Answer 1

Bài giải

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật

Vì M là trung điểm của BC nên M thuộc BC và MB = MC.

Lại có D thuộc tia đối của tia MA và MA = MD nên M là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABDC, hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại M và cùng bị chia đôi tại M.
Suy ra ABDC là hình bình hành.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc AC.
Trong hình bình hành ABDC ta có BD song song AC, DC song song AB.
Do đó góc ABD = góc giữa AB và AC = 90 độ.

Hình bình hành ABDC có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Vậy tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành và DK = 2BK

Vì E nằm trên tia đối của tia BA và BA = BE nên B là trung điểm của AE.

Ở câu a), ABDC là hình chữ nhật nên:
AB song song DC và AB = DC.

Do E thuộc tia đối của BA nên BE cùng phương với BA, suy ra BE song song DC.
Lại có BE = BA = DC.

Tứ giác BEDC có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên BEDC là hình bình hành.

Bây giờ chứng minh DK = 2BK.

Xét tam giác ADE:

B là trung điểm của AEM là trung điểm của AD

Nên DB là trung tuyến xuất phát từ D, còn EM là trung tuyến xuất phát từ E.

Mà K là giao điểm của DB và EM nên K là trọng tâm của tam giác ADE.

Theo tính chất trọng tâm, trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2 : 1 kể từ đỉnh.
Vì K nằm trên trung tuyến DB nên DK = 2BK.

Vậy BEDC là hình bình hành và DK = 2BK.

c) Chứng minh H, O, B thẳng hàng

Ta có MN vuông góc AC tại N, mà AB cũng vuông góc AC nên MN song song AB.

Trong tam giác CBA, M là trung điểm của CB và MN song song BA.
Theo định lí đường trung bình, N là trung điểm của CA.

Mặt khác, theo giả thiết, N là trung điểm của MH.

Xét tứ giác AHCM:

N là trung điểm của ACN là trung điểm của HM

Vậy hai đường chéo AC và HM của tứ giác AHCM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra AHCM là hình bình hành.

Do đó:
AH song song CM.

Mà C, M, B thẳng hàng nên CM cùng phương với BM.
Suy ra AH song song BM.

Lại có MH vuông góc AC và AB vuông góc AC nên MH song song AB.

Xét tứ giác ABHM:

AB song song HMAH song song BM

Suy ra ABHM là hình bình hành.

Trong hình bình hành ABHM, hai đường chéo là AM và BH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vì O là trung điểm của AM nên O cũng thuộc BH.

Do đó H, O, B thẳng hàng.

Đáp số:
a) ABDC là hình chữ nhật.
b) BEDC là hình bình hành và DK = 2BK.
c) H, O, B thẳng hàng.