Đặt
a = căn bậc ba của x+1,
b = căn bậc ba của x+2.
Khi đó
ab = căn bậc ba của (x+1)(x+2) = căn bậc ba của x^2+3x+2.
Phương trình trở thành
a + b = 1 + ab
hay
ab - a - b + 1 = 0
hay
(a - 1)(b - 1) = 0.
Suy ra
a = 1 hoặc b = 1.
Nếu a = 1 thì x+1 = 1, suy ra x = 0.
Nếu b = 1 thì x+2 = 1, suy ra x = -1.
Vậy nghiệm là x = -1, x = 0.
Căn bậc hai của x^2+3x+2 nhân với (căn bậc ba của x+1 trừ căn bậc ba của x+2) bằng 1Điều kiện để căn bậc hai xác định:
(x+1)(x+2) lớn hơn hoặc bằng 0
suy ra x thuộc (-vô cùng, -2] hoặc [-1, +vô cùng).
Với mọi x như vậy, ta luôn có
x+1 < x+2
nên
căn bậc ba của x+1 < căn bậc ba của x+2.
Do đó
căn bậc ba của x+1 trừ căn bậc ba của x+2 < 0.
Mặt khác
căn bậc hai của x^2+3x+2 lớn hơn hoặc bằng 0.
Vì thế vế trái luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, không thể bằng 1.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Đặt
a = căn bậc ba của x,
b = căn bậc ba của x+1.
Khi đó
căn bậc ba của x^2 = a^2,
căn bậc ba của x^2+x = căn bậc ba của x(x+1) = ab.
Phương trình thành
b + a^2 = a + ab
hay
a^2 - ab - a + b = 0
hay
(a - b)(a - 1) = 0.
Nếu a = b thì căn bậc ba của x = căn bậc ba của x+1, vô lí.
Vậy a = 1.
Suy ra
x = 1.
Vậy nghiệm là x = 1.
(căn x+5 trừ căn x+2)(1 + căn x^2+7x+10) = 3Điều kiện:
x lớn hơn hoặc bằng -2.
Đặt
a = căn x+5,
b = căn x+2.
Khi đó
ab = căn (x+5)(x+2) = căn x^2+7x+10.
Phương trình trở thành
(a - b)(1 + ab) = 3.
Mà
a^2 - b^2 = (x+5) - (x+2) = 3
nên
(a - b)(a + b) = 3.
Vậy
(a - b)(1 + ab) = (a - b)(a + b).
Vì a > b nên a - b khác 0, suy ra
1 + ab = a + b
hay
ab - a - b + 1 = 0
hay
(a - 1)(b - 1) = 0.
Nếu a = 1 thì x+5 = 1, suy ra x = -4, loại vì không thỏa điều kiện.
Nếu b = 1 thì x+2 = 1, suy ra x = -1.
Vậy nghiệm là x = -1.
Điều kiện:
-1/2 < x < 1/2.
Đặt
a = căn 1-2x,
b = căn 1+2x.
Khi đó a > 0, b > 0 và
a^2 + b^2 = (1-2x) + (1+2x) = 2.
Phương trình thành
a + b = a/b + b/a.
Ta có
a + b nhỏ hơn hoặc bằng căn(2(a^2+b^2)) = căn 4 = 2.
Còn
a/b + b/a lớn hơn hoặc bằng 2
(theo bất đẳng thức AM-GM).
Vì hai vế bằng nhau nên bắt buộc cả hai vế đều bằng 2.
Dấu bằng của a/b + b/a lớn hơn hoặc bằng 2 xảy ra khi a = b.
Suy ra
1 - 2x = 1 + 2x
nên x = 0.
Thử lại thấy đúng.
Vậy nghiệm là x = 0.
(x^2 - 6x + 11)căn(x^2 - x + 1) = 2(x^2 - 4x + 7)căn(x - 2)Điều kiện:
x lớn hơn hoặc bằng 2.
Vì hai vế không âm nên bình phương được:
(x^2 - 6x + 11)^2 (x^2 - x + 1) = 4(x^2 - 4x + 7)^2 (x - 2).
Chuyển vế rồi phân tích:
(x^2 - 6x + 11)^2 (x^2 - x + 1) - 4(x^2 - 4x + 7)^2 (x - 2)
= (x^2 - 10x + 19)(x^2 - 5x + 9)(x^2 - 2x + 3).
Do
x^2 - 5x + 9 luôn dương,
x^2 - 2x + 3 luôn dương,
nên chỉ còn
x^2 - 10x + 19 = 0.
Giải ra:
x = (10 cộng trừ căn 24) / 2 = 5 cộng trừ căn 6.
Hai giá trị này đều thỏa điều kiện và thay lại đều đúng.
Vậy nghiệm là x = 5 - căn 6 và x = 5 + căn 6.
