Question

Answer 1

Đặt a = √(x+1), b = √(1-x), với a,b >= 0.
Khi đó b^2 = 2 - a^2 và x = a^2 - 1.

Phương trình trở thành:
4a - 1 = 3(a^2 - 1) + 2b + ab
=> b(a+2) = -3a^2 + 4a + 2

Bình phương hai vế:
(2 - a^2)(a+2)^2 = (-3a^2 + 4a + 2)^2
=> 2(a-1)^2(5a^2-2) = 0

Suy ra:
a = 1 hoặc a^2 = 2/5

Do đó:
x = a^2 - 1 = 0 hoặc x = -3/5

Thử lại đều đúng.
Vậy nghiệm là: x = 0; x = -3/5.

Điều kiện: 1 <= x <= 7.
Đặt a = √(x-1), b = √(7-x), với a,b >= 0.
Khi đó a^2 + b^2 = 6 và x = a^2 + 1.

Phương trình trở thành:
a^2 + 1 + 2b = 2a + ab
=> (a-1)^2 + b(2-a) = 0

Xét 2 trường hợp:

Nếu a <= 2 thì (a-1)^2 >= 0 và b(2-a) >= 0.
Tổng bằng 0 là không thể xảy ra.Nếu a > 2 thì từ a^2 + b^2 = 6 suy ra b^2 < 2, nên b < √2.
Từ phương trình:
(a-1)^2 = b(a-2) < √2(a-2)

Đặt t = a-2 > 0, ta có:
(a-1)^2 - √2(a-2) = (t+1)^2 - √2t
= t^2 + (2-√2)t + 1 > 0

Mâu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Answer 2

Phương trình:
√(x^2 - 7/x^2) + √(x - 7/x^2) = x

Vì vế trái không âm nên x > 0.

Đặt:
y = √(x - 7/x^2)

Khi đó:
√(x^2 - 7/x^2) = x - y

Bình phương:
x^2 - 7/x^2 = x^2 + y^2 - 2xy

Mà y^2 = x - 7/x^2, nên:
x^2 - 7/x^2 = x^2 + x - 7/x^2 - 2xy
=> 2xy = x

Vì x > 0 nên y = 1/2.

Suy ra:
x - 7/x^2 = 1/4
=> 4x^3 - x^2 - 28 = 0
=> (x-2)(4x^2 + 7x + 14) = 0

Vì 4x^2 + 7x + 14 > 0 nên:
x = 2

Thử lại đúng.
Vậy nghiệm là: x = 2.

Phương trình:
2x + (4x^2-1)√(1-x^2) = 4x^3 + √(1-x^2)

Chuyển vế:
2x - 4x^3 + (4x^2 - 2)√(1-x^2) = 0

Đặt nhân tử chung:
2(2x^2-1)(√(1-x^2) - x) = 0

Suy ra:
2x^2 - 1 = 0 hoặc √(1-x^2) = x

2x^2 - 1 = 0
=> x = ±√2/2√(1-x^2) = x
=> x >= 0 và 1-x^2 = x^2
=> x = √2/2

Vậy nghiệm là: x = ±√2/2.

Answer 3

Phương trình:
2x - 3∛(4x^2+4x+1) = x^3 - 3∛(2x+1)

Đặt t = ∛(2x+1).
Khi đó:
2x+1 = t^3
=> x = (t^3-1)/2

Lại có:
∛(4x^2+4x+1) = ∛((2x+1)^2) = t^2

Thay vào phương trình, rút gọn được:
(t-1)^3(t^2+t-1)(t^4+2t^3+5t^2+4t+7) = 0

Mà:
t^4+2t^3+5t^2+4t+7
= (t^2+t)^2 + 4(t^2+t) + 7
= (t^2+t+2)^2 + 3 > 0

Nên:
t = 1 hoặc t^2 + t - 1 = 0

Suy ra:
t = 1; t = (-1+√5)/2; t = (-1-√5)/2

Tính x = (t^3-1)/2:

Với t = 1:
x = 0Với t = (-1+√5)/2:
do t^2+t=1 nên t^3=2t-1=√5-2
=> x = (√5-3)/2Với t = (-1-√5)/2:
t^3 = 2t-1 = -√5-2
=> x = -(√5+3)/2

Vậy nghiệm là:
x = 0; x = (√5-3)/2; x = -(√5+3)/2.

Phương trình:
4/x + √(x - 1/x) = x + √(2x - 5/x)

Đặt:
a = √(x - 1/x), b = √(2x - 5/x)

Khi đó:
4/x + a = x + b
=> a - b = x - 4/x

Mặt khác:
b^2 - a^2 = (2x - 5/x) - (x - 1/x) = x - 4/x

Nên:
a - b = b^2 - a^2 = -(a-b)(a+b)

Suy ra:
(a-b)(1+a+b) = 0

Vì 1+a+b > 0 nên:
a-b = 0
=> a = b

Khi đó:
x - 4/x = 0
=> x^2 = 4
=> x = 2 hoặc x = -2

Kiểm tra điều kiện:
x = -2 không thỏa điều kiện xác định.
x = 2 thỏa.

Vậy nghiệm là: x = 2.

Answer 4

(test).