Câu 3: \(y=x^3+3x^2-9x\)
=>\(y^{\prime}=3x^2+3\cdot2x-9=3x^2+6x-9\)
=>y''\(=3\cdot2x+6=6x+6\)
Đặt y'=0
=>\(3x^2+6x-9=0\)
=>\(3\left(x^2+2x-3\right)=0\)
=>\(x^2+2x-3=0\)
=>(x+3)(x-1)=0
=>\(\left[\begin{array}{l}x+3=0\\ x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\end{array}\right.\)
Khi x=-3 thì y''\(=6\cdot\left(-3\right)+6=-18+6=-12\) <0
Khi x=1 thì y''\(=6\cdot1+6=6+6=12\) >0
=>Khi x=1 thì hàm số đạt cực tiểu
Thay x=1 vào hàm số ban đầu, ta có: \(y=1^3+3\cdot1^2-9\cdot1=1+3-9=-5\)
=>Điểm cực tiểu là A(1;-5)
Câu 4: \(y=x^3-3m\cdot x^2+\left(m^2+2\right)\cdot x-m+1\)
=>\(y^{\prime}=3x^2-3m\cdot2x+m^2+2=3x^2-6m\cdot x+m^2+2\)
=>y''\(=3\cdot2x-6m=6x-6m\)
Để hàm số đạt cực đại tại x=1 thì y'(1)=0 và y''(1)<0
y'(1)=0
=>\(3\cdot1^2-6m\cdot1+m^2+2=0\)
=>\(m^2-6m+5=0\)
=>(m-1)(m-5)=0
=>\(\left[\begin{array}{l}m-1=0\\ m-5=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=5\end{array}\right.\) (1)
y''(1)<0
=>\(6\cdot1-6m<0\)
=>6-6m<0
=>6m>6
=>m>1(2)
Từ (1),(2) suy ra m=5
