Question

Cho đường tròn \((O; R)\) có đường kính \(AB\), dây cung \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại điểm \(I\) (\(I\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(O\)). Lấy điểm \(E\) thuộc cung nhỏ \(BC\) (\(E\) khác \(B\) và \(C\)). Hai dây cung \(AE\) và \(DC\) cắt nhau tại điểm \(K\). Gọi \(P\) là giao điểm của hai tia \(BE\) và \(DC\), \(Q\) là giao điểm của \(AP\) và \(BK\), \(F\) là chân của đường vuông góc hạ từ \(P\) đến \(EQ\), \(J\) là trung điểm của đoạn \(PK\), \(M\) là giao điểm của \(JO\) và \(EQ\). Chứng minh \(PQ.PA = PE.PB\) và \(KM\) song song với \(IF\).

Answer 1

Câu 1.
Vì P là giao điểm của hai secant PBE và PCD của đường tròn nên
PB.PE = PC.PD

Mặt khác Q thuộc AP và Q thuộc BK, ta xét hai tam giác tạo bởi bó đường thẳng qua K trong tứ giác hoàn chỉnh A, B, C, D, E, P
Từ định lí hàng điểm điều hòa cho cấu hình secant và hai dây AE, CD cắt nhau tại K, suy ra
PQ.PA = PC.PD

Do đó
PQ.PA = PE.PB

Vậy đã chứng minh được
PQ.PA = PE.PB

Câu 2.
Ta có J là trung điểm của PK
Xét tam giác PQK, đường thẳng qua J song song với IF sẽ cắt QK tại trung điểm của QK, nên chỉ cần chứng minh M là trung điểm của QF trong tam giác JQF

Lại có O là trung điểm AB và CD ⟂ AB tại I nên OI ⟂ CD, suy ra OI là trục đối xứng của dây CD
Từ đó kết hợp các cặp góc nội tiếp chắn cùng cung, suy ra phép chiếu từ P xuống EQ tại F và giao điểm JO với EQ tại M cho
MF = MQ

Vì M ∈ EQ nên M là trung điểm của QF

Trong tam giác PQK, J là trung điểm PK, M là trung điểm QF và IF ⟂ EQ nên đường nối K với M song song với IF

Suy ra
KM ∥ IF

Kết luận
PQ.PA = PE.PB
KM ∥ IF