Question

Bài 5. Cho hai biểu thức \( A = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \) và \( B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x + 1}{x - 1} \), với \( x \geq 0; x \neq 1 \).

1. Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \).

2. Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \).

3. Tìm tất cả các giá trị \( x \) nguyên để \( A + B \) nhận giá trị nguyên.

Answer 1

1: Thay x=4 vào A, ta được:

\(A=\frac{3-\sqrt4}{\sqrt4-1}=\frac{3-2}{2-1}=\frac11=1\)

2: \(B=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x+1}{x-1}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-1+x+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

3: Đặt P=A+B

\(=\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{3-\sqrt{x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

Để P nguyên thì 3⋮\(\sqrt{x}-1\)

=>\(\sqrt{x}-1\) ∈{1;-1;3;-3}

=>\(\sqrt{x}\) ∈{2;0;4;-2}

=>\(\sqrt{x}\) ∈{2;0;4}

=>x∈{0;4;16}