Question

Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức \( A = \frac{x + 12}{\sqrt{x} - 1} \) và \( B = \left( \frac{3}{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \), với \( x \geq 0; x \neq 1 \).

1. Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \).

2. Rút gọn biểu thức \( B \).

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \frac{A}{B} \).

Answer 1

Bài 1:

1: Thay x=9 vào A, ta được;

\(A=\frac{9+12}{\sqrt9-1}=\frac{21}{3-1}=\frac{21}{2}\)

2: \(B=\left(\frac{3}{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\left(\frac{3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\frac{3}{\sqrt{x}-1}+1=\frac{3+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\)

3: M=A:B

\(=\frac{x+12}{\sqrt{x}-1}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x+12}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x+12}{\sqrt{x}+2}=\frac{x-4+16}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2+\frac{16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\sqrt{x}+2+\frac{16}{\sqrt{x}+2}-4\ge2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\frac{16}{\sqrt{x}+2}}-4=2\cdot\sqrt{16}-4=2\cdot4-4=4\) ∀x thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(\sqrt{x}+2\right)^2=16\)

=>\(\sqrt{x}+2=4\)

=>x=4(nhận)