Question

Bài 4 (2,0đ). Chứng minh rằng, với \( n \) là số tự nhiên thì:

a) \( (3n + 1)^2 - 25 \) chia hết cho 3

b) \( (n + 6)^2 - (n - 6)^2 \) chia hết cho 24

Bài 5 (1,0đ). Tìm các cặp số nguyên dương \( x, y \) sao cho: \( x^2 - 35 = y^2 \).

Answer 1

Bài 4:

a: \(\left(3n+1\right)^2-25\)

\(=\left(3n+1+5\right)\left(3n+1-5\right)\)

\(=\left(3n+6\right)\left(3n-4\right)=3\left(n+2\right)\left(3n-4\right)\) ⋮3

b: \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12\cdot2n=24n\) ⋮24

Bài 5:

\(x^2-35=y^2\)

=>\(x^2-y^2=35\)

=>(x-y)(x+y)=35

=>(x-y;x+y)∈{(1;35);(35;1);(-1;-35);(-35;-1);(5;7);(7;5);(-5;-7);(-7;-5)}

mà x+y>0(do x,y nguyên dương)

nên (x-y;x+y)∈{(1;35);(35;1);(5;7);(7;5)}

TH1: x-y=1 và x+y=35

=>x-y+x+y=1+35=36

=>2x=36

=>x=18

x-y=1

=>y=x-1=18-1=17

TH2: x-y=35 và x+y=1

=>x-y+x+y=35+1=36

=>2x=36

=>x=18

x-y=35

=>18-y=35

=>y=18-35=-17(loại)

TH3: x-y=5 và x+y=7

=>x-y+x+y=5+7=12

=>2x=12

=>x=6

x-y=5

=>y=x-5=6-5=1

TH4: x-y=7 và x+y=5

=>x-y+x+y=7+5

=>2x=12

=>x=6

x-y=7

=>y=x-7=6-7=-1(loại)