Question

Câu 14: Cho phương trình: \( x^2 + 5x + m = 0 \) (*) có một nghiệm là \( \frac{-\sqrt{13} - 5}{2} \)

Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Câu 15: Cho phương trình bậc hai \( x^2 - 6x + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt là \( x_1 = 2x_2 \). Tính giá trị biểu thức \( S = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1 + x_2) \).

Answer 1

Câu 15: \(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot c=36-4c\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 36-4c>0

=>4c<36

=>c<9

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=c\end{cases}\)

\(x_1=2x_2\)

\(x_1+x_2=6\)

Do đó: \(2x_2+x_2=6\)

=>\(3x_2=6\)

=>\(x_2=2\)

=>\(x_1=2\cdot2=4\)

\(x_1x_2=c\)

=>\(c=2\cdot4=8\)

\(S=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3=6^3=216\)

Câu 14:

Thay \(x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}\) vào phương trình, ta được:

\(\left(\frac{-\sqrt{13}-5}{2}\right)^2+5\cdot\frac{-\sqrt{13}-5}{2}+m=0\)

=>\(\frac{38+10\sqrt{13}}{4}+5\cdot\frac{-\sqrt{13}-5}{2}+m=0\)

=>\(\frac{19+5\sqrt{13}}{2}+\frac{-5\sqrt{13}-25}{2}+m=0\)

=>\(\frac{-6}{2}+m=0\)

=>m=3

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(-5\right)^2-2\cdot3=25-6=19\)