Câu 1.
Đặt a = √x, b = √y, với a > b > 0, khi đó x = a^2, y = b^2
Ta có
(x - y) / (√x - √y) = (a^2 - b^2) / (a - b) = a + b
và
(√x^3 - √y^3) / (x - y) = (a^3 - b^3) / (a^2 - b^2)
= (a - b)(a^2 + ab + b^2) / (a - b)(a + b)
= (a^2 + ab + b^2) / (a + b)
Nên
(x - y) / (√x - √y) - (√x^3 - √y^3) / (x - y)
= a + b - (a^2 + ab + b^2) / (a + b)
= ab / (a + b)
Mặt khác
(√x - √y) / (√x + y) + √(xy) / (√x + √y)
= (a - b) / (a + b) + ab / (a + b)
= (ab + a - b) / (a + b)
Suy ra
H = [ab / (a + b)] : [(ab + a - b) / (a + b)]
= ab / (ab + a - b)
Vậy
H = √(xy) / (√(xy) + √x - √y)
Câu 2.
Vì a > b > 0 nên
ab > 0
ab + a - b > ab > 0
Suy ra
H = ab / (ab + a - b) > 0
Do đó
H ≥ 0
Câu 3.
Vì a > b > 0 nên
ab + a - b > ab
suy ra
0 < H = ab / (ab + a - b) < 1
Mà với 0 < H < 1 thì
H < √H
Vậy
H < √H
Kết luận
a) H = √(xy) / (√(xy) + √x - √y)
b) H ≥ 0, thực ra H > 0
c) H < √H
