Câu 1.
Điều kiện xác định, 3/2 ≤ x ≤ 3
Đặt a = 2x - 3, b = 6 - 2x, khi đó a ≥ 0, b ≥ 0 và a + b = 3
Ta có
(√a + √b)^2 = a + b + 2√ab ≤ a + b + a + b = 2(a + b) = 6
Suy ra
√a + √b ≤ √6 < 3√2
Vậy
√(2x - 3) + √(6 - 2x) ≤ 3√2
Dấu bằng không xảy ra, vì giá trị lớn nhất của vế trái là √6, không thể bằng 3√2
Câu 2.
Điều kiện xác định, -4 ≤ x ≤ 5
Đặt a = x + 4, b = 5 - x, khi đó a ≥ 0, b ≥ 0 và a + b = 9
Ta có
2√a + √b ≤ √(2^2 + 1^2) . √(a + b) = √5 . √9 = 3√5
Nên
2√(x + 4) + √(5 - x) ≤ 3√5
Dấu bằng xảy ra khi
2/√a = 1/√b, hay 2√b = √a
Suy ra
a = 4b
Mà a + b = 9 nên 4b + b = 9, b = 9/5, a = 36/5
Do đó
x + 4 = 36/5, 5 - x = 9/5
Suy ra x = 4/5
Kết luận
Câu 1, dấu bằng không xảy ra
Câu 2, nếu cận đúng là 3√5 thì dấu bằng xảy ra khi x = 4/5
Lưu ý, nếu đề của bạn thật sự ghi vế phải câu 2 là √30 thì đề bị sai, vì lấy x = 4 thì vế trái = 2√8 + 1 > √30.
