Câu 1.
Đặt hệ trục tọa độ với
S(0,0,0), A(4,0,0), B(0,4,0)
Vì tam giác SAB vuông cân tại S và AB = 4√2 nên
SA = SB = 4, SA ⟂ SB
nên cách đặt trên là phù hợp
Gọi
D(x,y,z)
thì vì ABCD là hình bình hành nên
C = B + D - A = (x - 4, y + 4, z)
Điểm I thuộc SB và
SI = 2/5 SB
nên
I(0, 8/5, 0)
Điểm E thuộc SC và
SE = 2/3 SC
nên
E = 2/3 C = (2(x - 4)/3, 2(y + 4)/3, 2z/3)
H là trọng tâm tam giác ACD nên
H = (A + C + D)/3
= (2x/3, (2y + 4)/3, 2z/3)
Ta tính thể tích khối chóp S.ABCD
V = 1/3 . |SA · (AB × AD)|
Với
AB = (-4,4,0), AD = (x - 4, y, z), SA = (4,0,0)
Suy ra
SA · (AB × AD) = 16z
Do thể tích bằng 36 nên
1/3 . |16z| = 36
|z| = 27/4
Bây giờ xét hai đường thẳng AI và HE
Vectơ chỉ phương của AI là
u = I - A = (-4, 8/5, 0)
Vectơ chỉ phương của HE là
v = E - H = (-8/3, 4/3, 0)
Ta có
u × v = (0,0,-16/15)
Lấy
A thuộc AI, H thuộc HE
thì
AH = H - A = (2x/3 - 4, (2y + 4)/3, 2z/3)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và HE là
d = |AH · (u × v)| / |u × v|
Vì u × v chỉ có tọa độ z nên
d = |2z/3|
= 2|z|/3
= 2.27/4 : 3
= 9/2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và HE là
9/2
