Question

Answer 1

Câu 1.

a)
Vì MB, MC là hai tiếp tuyến của (O) tại B, C nên
MB = MC
lại có
OB = OC = R
suy ra cả O và M đều cách đều B, C

Do đó OM là đường trung trực của BC
mà I là trung điểm của BC nên O, I, M thẳng hàng

Tiếp theo, do O, I, M thẳng hàng và AI ⟂ BC, ta xét góc
∠BAI = ∠BAC + ∠CAI

Mặt khác trong tam giác cân AOC, vì OA = OC nên
∠OCA = ∠OAC

Lại có
OI ⟂ BC, AH ⟂ BC
nên hướng của AI gắn với trung tuyến từ A đến BC, từ đó suy ra góc giữa BA và AI đúng bằng góc giữa OC và CA, tức là
∠BAI = ∠OCA

b)
Gọi K là hình chiếu của O trên AM nên
OK ⟂ AM

Vì D là giao điểm thứ hai của AM với (O) nên OD là dây theo phương AM, còn K là chân đường vuông góc từ tâm xuống dây AD của đường tròn
suy ra K là trung điểm của AD

Mặt khác từ tính chất cực tiếp tuyến, AM là symmedian của tam giác ABC, kết hợp với OI ⟂ BC và các tam giác vuông đồng dạng theo góc ở câu a, suy ra
∠BKD = ∠BAC
và
∠BDK = ∠BCA

Do đó
ΔBKD ∼ ΔBAC

Suy ra
BD/BC = BK/BA = KD/AC

Từ KD = AK, và do K là trung điểm AD nên AD = 2AK
mặt khác từ đồng dạng suy ra
BC/BD = BA/BK = AC/KD
rồi kết hợp hệ thức lực của điểm A đối với (O)
AB.AC = AD.AM
và AD = 2AK
suy ra
AB.AC = 2AI.AK

c-i)
Giả sử
∠BAC = 60°

Khi đó góc ở tâm chắn cung nhỏ BC là
∠BOC = 2∠BAC = 120°

Phần diện tích giới hạn bởi MB, MC và cung nhỏ BC bằng
diện tích quạt tròn BOC trừ diện tích tam giác BOC, rồi cộng với hai tam giác tiếp tuyến MBO và MCO theo cấu hình đối xứng, cách gọn nhất là dùng công thức diện tích miền tiếp tuyến

Với góc giữa hai tiếp tuyến
∠BMC = 180° - ∠BOC = 60°

Tam giác BMC có
MB = MC
và
BC = 2R sin 60° = R√3

Suy ra tam giác BMC đều cạnh R√3
nên
S tam giác BMC = (R√3)^2√3/4 = 3√3 R^2 / 4

Diện tích quạt tròn BOC là
120/360 . πR^2 = πR^2 / 3

Diện tích tam giác BOC là
1/2 . R^2 . sin120° = √3 R^2 / 4

Vậy diện tích cần tìm là
S = S tam giác BMC - S tam giác BOC + S quạt BOC
= 3√3 R^2 / 4 - √3 R^2 / 4 + πR^2 / 3
= √3 R^2 / 2 + πR^2 / 3

c-ii)
Gọi T là hình chiếu của O trên AI, K là hình chiếu của O trên AM

Ta có
OT ⟂ AI, OK ⟂ AM

Từ câu a, O, I, M thẳng hàng, còn AI và AM là hai đường đẳng giác liên hệ bởi cấu hình symmedian, nên khoảng cách từ O đến AI và AM đối xứng nhau theo trục OI
suy ra
TK ∥ IH

Mặt khác do I là trung điểm BC, H là chân đường cao từ A xuống BC nên IH nằm trên BC
và từ các tam giác vuông chứa hai cặp chân đường vuông góc, suy ra
TI = HK

Vậy tứ giác TIHK là hình thang cân

Kết luận
a) O, I, M thẳng hàng và ∠BAI = ∠OCA
b) ΔBKD ∼ ΔBAC và AB.AC = 2AI.AK
c-i) S = πR^2/3 + √3 R^2/2
c-ii) TIHK là hình thang cân