1: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
Tâm là trung điểm của AH
2: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)
mà \(\hat{BFE}+\hat{MFB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{MFB}=\hat{MCE}\)
Xét ΔMFB và ΔMCE có
\(\hat{MFB}=\hat{MCE}\)
\(\hat{FMB}\) chung
Do đó: ΔMFB~ΔMCE
=>\(\frac{MF}{MC}=\frac{MB}{ME}\)
=>\(MF\cdot ME=MB\cdot MC\)
3: Vì ANBC là tứ giác nội tiếp
nên \(\hat{ANB}+\hat{ACB}=180^0\)
mà \(\hat{ANB}+\hat{MNB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{MNB}=\hat{MCA}\)
Xét ΔMNB và ΔMCA có
\(\hat{MNB}=\hat{MCA}\)
\(\hat{NMB}\) chung
Do đó: ΔMNB~ΔMCA
=>\(\frac{MN}{MC}=\frac{MB}{MA}\)
=>\(MN\cdot MA=MB\cdot MC\)
=>\(MN\cdot MA=MF\cdot ME\)
=>\(\frac{MN}{ME}=\frac{MF}{MA}\)
Xét ΔMNF và ΔMEA có
\(\frac{MN}{ME}=\frac{MF}{MA}\)
\(\hat{NMF}\) chung
Do đó: ΔMNF~ΔMEA
=>\(\hat{MNF}=\hat{MEA}\)
=>\(\hat{ANF}+\hat{AEF}=180^0\)
=>ANEF là tứ giác nội tiếp
=>A,N,E,F cùng thuộc một đường tròn
mà A,F,H,E cùng thuộc một đường tròn là đường tròn đường kính AH
nên N nằm trên đường tròn đường kính AH
=>ΔHNA vuông tại N
=>HN⊥AM
