1: Xét tứ giác BCEF có \(\hat{BEC}=\hat{BFC}=90^0\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>Tâm M là trung điểm của BC
2: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại D
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF
=>MB=ME=MC=MF
=>F,E,B cùng thuộc (M;MC)
ME=MB nên ΔMEB cân tại M
=>\(\hat{MEB}=\hat{MBE}\)
ΔAEH vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên IE=IH
=>ΔIEH cân tại I
=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}\)
mà \(\hat{IHE}=\hat{BHD}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{IEH}=\hat{BHD}\)
\(\hat{IEM}=\hat{IEH}+\hat{MEH}=\hat{BHD}+\hat{HBD}=90^0\)
=>EI⊥EM tại E
=>EI là tiếp tuyến tại E của (M;MC)
3: Gọi AK là đường kính của (O)
=>O là trung điểm của AK
Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
=>BA⊥BK
mà CH⊥BA
nên CH//BK
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó; ΔACK vuông tại C
=>CA⊥CK
mà BH⊥CA
nên BH//CK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HK
Xét ΔAHK có
M,O lần lượt là trung điểm của KH,KA
=>MO là đường trung bình của ΔAHK
=>AH=2MO
