Cho tam giác \( ABC \) nhọn (\( AB < AC \)). Vẽ hai đường cao \( BE \) và \( CF \) cắt nhau tại \( H \).
a) Chứng minh tam giác \( ABE \sim \) tam giác \( ACF \). Viết tỉ số đồng dạng.
b) Chứng minh \( AH \perp BC \) tại \( D \) và \( \angle AEF + \angle BAD = 90^\circ \)
c) Chứng minh \( CH \cdot CF = BC^2 - BH \cdot BE \)
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\hat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}\)
b: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại D
Ta có: \(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
\(\hat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)
mà \(\hat{ABC}+\hat{BAD}=90^0\) (ΔADB vuông tại D)
nên \(\hat{AEF}+\hat{BAD}=90^0\)
c: Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
\(\hat{DCH}\) chung
Do đó: ΔCDH~ΔCFB
=>\(\frac{CD}{CF}=\frac{CH}{CB}\)
=>\(CH\cdot CF=CD\cdot CB\)
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
\(\hat{DBH}\) chung
Do đó: ΔBDH~ΔBEC
=>\(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\)
=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BC\)
\(BH\cdot BE+CH\cdot CF=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2\)
=>\(CH\cdot CF=BC^2-BH\cdot BE\)
