Question

Câu 1. Cho đường tròn \( (O ; R) \) đường kính \( AB \). Kẻ tiếp tuyến \( Ax \) và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm \( P \) sao cho \( AP > R \), từ \( P \) kẻ tiếp tuyến của \( (O) \) tại \( M \).
a) Chứng minh rằng tứ giác \( APMO \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng \( BM \parallel OP \)
c) Đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( O \) cắt tia \( BM \) tại \( N \). Chứng minh rằng tứ giác \( PNOA \) là hình chữ nhật.

Answer 1

a: Xét tứ giác OAPM có \(\widehat{PAO}+\widehat{PMO}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAPM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

PA,PM là các tiếp tuyến

Do đó: PA=PM

=>P nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1),(2) suy ra OP là đường trung trực của AM

=>OP\(\perp\)AM(3)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB(4)

Từ (3),(4) suy ra MB//OP

c: Xét ΔNOB vuông tại O và ΔPAO vuông tại A có

OB=AO

\(\widehat{NBO}=\widehat{POA}\)(hai góc đồng vị, PO//MB)

Do đó: ΔNOB=ΔPAO

=>NP=OB

=>NP=OA

Xét tứ giác NPAO có

NP=AO

NO=AP(ΔNOB=ΔPAO)

Do đó: NPAO là hình bình hành

mà \(\widehat{PAO}=90^0\)

nên NPAO là hình chữ nhật