Câu 29. Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến
\(BM: \frac{x-1}{-2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{3}\), \(CN: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-3}\) và trung điểm của cạnh \(BC\) là điểm \(E(2;0;0)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Các khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hoành độ của điểm \(G\) bằng \(\frac{7}{3}\).
B. Tung độ của điểm \(G\) bằng \(\frac{2}{3}\).
C. Cao độ của điểm \(G\) bằng 0.
D. Biết \(A(a;b;c)\), khi đó \(a+b+c=3\).
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: G là giao điểm của BM và CN
BM: Đặt \(\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}=k\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=-2k\\y-1=k\\z-1=3k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2k+1\\y=k+1\\z=3k+1\end{matrix}\right.\)
G thuộc BM nên G(-2k+1;k+1;3k+1)
G thuộc CN nên thay x=-2k+1;y=k+1;z=3k+1 vào CN, ta được:
\(\dfrac{-2k+1-1}{1}=\dfrac{k+1}{1}=\dfrac{3k+1-2}{-3}\)
=>\(-2k=k+1=\dfrac{3k-1}{-3}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2k=k+1\\-2k=\dfrac{3k-1}{-3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3k=1\\6k=3k-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow k=-\dfrac{1}{3}\)
=>G(5/3;2/3;0)
=>Loại A, chọn C, chọn B
A(a;b;c); G(5/3;2/3;0); E(2;0;0)
\(\overrightarrow{AG}=\left(\dfrac{5}{3}-a;\dfrac{2}{3}-b;-c\right);\overrightarrow{AE}=\left(2-a;-b;-c\right)\)
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
E là trung điểm của BC
Do đó: A,G,E thẳng hàng và AG=2/3AE
=>\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AE}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{3}-a=\dfrac{2}{3}\left(2-a\right)\\\dfrac{2}{3}-b=\dfrac{2}{3}\left(-b\right)\\-c=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-c\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{3}-a=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}a\\\dfrac{2}{3}-b=-\dfrac{2}{3}b\\c=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-a+\dfrac{2}{3}a=\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{3}\\-b+\dfrac{2}{3}b=-\dfrac{2}{3}\\c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{3}a=-\dfrac{1}{3}\\-\dfrac{1}{3}b=-\dfrac{2}{3}\\c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)
=>A(1;2;0)
=>a+b+c=1+2+0=3
=>Chọn D
Vậy: Các câu đúng là C,B,D
G là giao điểm 2 đường trung tuyến nên là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}\\\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{y}{-2}\\\dfrac{z-1}{3}=\dfrac{z-2}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\\z=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\dfrac{5}{3}\)
\(\Rightarrow G\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3};0\right)\)
Do đó:
a. Sai
b. Đúng
c, Đúng
d. Đúng
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AG}=\left(\dfrac{5}{3}-a;\dfrac{2}{3}-b;-c\right)\\\overrightarrow{AE}=\left(2-a;-b;-c\right)\end{matrix}\right.\)
Theo tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}\Rightarrow\left(\dfrac{5}{3}-a;\dfrac{2}{3}-b;-c\right)=\dfrac{2}{3}\left(2-a;-b;-c\right)\)
\(\Rightarrow a=1;b=2;c=0\)
