Trong một căn phòng rộng có treo một quả cầu phong thủy hình cầu bán kính bằng 20cm không cho ánh sáng đi qua. Một nguồn sáng coi như một điểm đặt tại điểm \( A \) phía trước quả cầu, cách tâm quả cầu một đoạn bằng 80cm, thấy bóng của quả cầu trên bức tường thẳng đứng phía sau là một hình phẳng \( (H) \). Để tính diện tích của \( (H) \) người ta tiến hành gắn hệ trục tọa độ \( Oxyz \) vào sao cho tâm quả cầu là gốc \( O \) và trục \( Ox \) hướng theo vector \( \overrightarrow{AO} \), khi đó xác định được mặt phẳng mặt phẳng bức tường là \( (\beta) : x + 2z - 100 = 0 \), đơn vị độ dài trên mỗi trục là 5cm. Hãy tính diện tích \( (H) \) theo đơn vị mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
\(d=d\left(O;\left(\beta\right)\right)=\dfrac{\left|0+2.0-100\right|}{\sqrt{1+2^2}}=\dfrac{100}{\sqrt{5}}\)
\(\overrightarrow{AO}=\left(-80;0;0\right)\)
\(\overrightarrow{n_{\beta}}=\left(1;0;2\right)\)
\(cos\left(\widehat{\overrightarrow{AO};\beta}\right)=cos\theta=\dfrac{\left|-80.1+0.0+0.2\right|}{\sqrt{\left(-80\right)^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
Nên hình chiếu của quả cầu từ nguồn sáng \(A\) lên mặt phẳng \(\beta\) là một elip (Nếu vuông góc sẽ là hình tròn).
Để tính nhanh diện tích elip này ta chỉ cần lấy diện tích hình tròn bán kính \(20\left(cm\right)\) chia cho \(sin\theta\)
\(S\left(H\right)=\pi.20^2.\dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx1404\left(cm^2\right)\approx0,1\left(m^2\right)\)
Câu này sáng nay tính thử rồi mà quá trình tính thấy đề cho ko thân thiện (số quá dài và to) nên dừng
Đại loại để tính được diện tích elip thì cần tính độ dài 2 trục.
Tính trục lớn thì thực hiện 1 mặt cắt bằng mp Oxz (do trục Oy song song mp (P))
Tiếp tuyến từ A của mặt cầu sẽ cắt (P) trên mặt cắt theo trục lớn MN:
Phác thảo đại loại nó như này, elip (H) là ảnh của đường tròn đường kính BC qua phép chiếu xuyên tâm A lên (P):
Tính được tọa độ B, C, từ đó có pt AB, AC, biết pt MN là x+2z-100=0, tính được tọa độ M, N (trên mặt Oxz), suy ra độ dài trục lớn MN. Nhưng mà thực sự thì con số quá xấu do pt AB, AC là \(x\pm\sqrt{15}z+16=0\) dẫn tới tọa độ M, N rất xấu
Để tính độ dài trục nhỏ thì trục lớn vuông góc trục nhỏ tại tâm I là trung điểm 2 trục, do đó thực hiện 1 mặt cắt chứa đường thẳng AI và song song trục Oy
Đầu tiên phải tính được 2 điểm "mép" P, Q của tia chiếu từ A:
Từ độ dài đoạn PQ tính được và độ dài AI, AD đã biết, dùng định lý Thales tính độ dài trục nhỏ XY, suy ra diện tích elip:
Có 2 vấn đề: 1 là ko thể áp dụng công thức diện tích hình chiếu (do đây là phép chiếu xuyên tâm, ko phái phép chiếu song song), và quan trọng là mình ko biết ảnh của điểm O qua phép chiếu xuyên tâm lên (P) có phải là 1 tiêu điểm của elip ko (cái này cần kiểm chứng). Nếu có thì việc tính trục nhỏ rất dễ, còn ko thì phải tính như trên, rất dài + mệt.
Ko biết có cách này ngắn gọn ko. Vì việc tính toán liên quan đến ảnh của phép chiếu xuyên tâm người ta ko có công thức (hoặc có mà mình ko biết)
