11. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(AB = a\). Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'O\) và \(BC\).
12. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B, BC = 2a\). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), góc tạo bởi \(SA\) với mặt phẳng \((SBC)\) bằng \(30^\circ\). \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khoảng cách giữa \(AB\) và \(SM\) bằng bao nhiêu?
13. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B, AD = 2a, AB = BC = a, SA \perp (ABCD), SA = a\sqrt{2}\). Khoảng cách giữa \(SB\) và \(DC\) bằng bao nhiêu?
Câu 11. Đặt hệ trục tọa độ
A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), O(a/2,a/2,0)
Khi đó
vec(A'O) = (a/2,a/2,-a)
vec(BC) = (0,a,0)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'O và BC là
d = |vec(A'B).[vec(A'O) × vec(BC)]| / |vec(A'O) × vec(BC)|
Ta có
vec(A'B) = (a,0,-a)
vec(A'O) × vec(BC) = (a^2,0,a^2/2)
Suy ra
d = (a^3/2) / (a^2√5/2) = a/√5 = a√5/5
Vậy
d(A'O,BC) = a√5/5
Câu 12. Đặt
B(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), S(2a,0,h)
Vì SA ⟂ (ABC) nên SA là đường cao, với SA = h
M là trung điểm AC nên
M(a,a,0)
Mặt phẳng (SBC) có
vec(BS) = (2a,0,h), vec(BC) = (0,2a,0)
n = vec(BS) × vec(BC) = (-2ah,0,4a^2)
Góc giữa SA và (SBC) bằng 30° nên
sin 30° = |vec(SA).n| / (|vec(SA)|.|n|)
= 2a / √(h^2 + 4a^2)
Suy ra
1/2 = 2a / √(h^2 + 4a^2)
√(h^2 + 4a^2) = 4a
h^2 = 12a^2
h = 2a√3
Vậy
S(2a,0,2a√3)
Ta có
vec(AB) = (2a,0,0)
vec(SM) = (-a,a,-2a√3)
vec(AS) = (0,0,2a√3)
Khoảng cách giữa AB và SM là
d = |vec(AS).[vec(AB) × vec(SM)]| / |vec(AB) × vec(SM)|
Tính được
vec(AB) × vec(SM) = (0,4a^2√3,2a^2)
Nên
d = 4a^3√3 / 2a^2√13 = 2a√3/√13 = 2a√39/13
Vậy
d(AB,SM) = 2a√39/13
Câu 13. Đặt hệ trục tọa độ
A(0,0,0), D(2a,0,0), B(0,a,0), C(a,a,0), S(0,0,a√2)
Khi đó
vec(SB) = (0,a,-a√2)
vec(DC) = (-a,a,0)
vec(SD) = (2a,0,-a√2)
Khoảng cách giữa SB và DC là
d = |vec(SD).[vec(SB) × vec(DC)]| / |vec(SB) × vec(DC)|
Ta có
vec(SB) × vec(DC) = (a^2√2,a^2√2,a^2)
Suy ra
|vec(SD).[vec(SB) × vec(DC)]| = a^3√2
|vec(SB) × vec(DC)| = a^2√5
Vậy
d = a√2/√5 = a√10/5
