Question

Cho hai biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} \) và \( B = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{x + \sqrt{x} - 2}{x - 4} \) với \( x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9 \).

1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \).

2) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \).

3) Xét biểu thức \( P = A.B \). Tìm \( x \) để \( P \geq 0 \).

Answer 1

a; thay x=16 vào A ta được:

\(A=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{16}-2}{\sqrt{16}-3}=2\)

\(b;B=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x+\sqrt{x}-2}{x-4}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+2+x+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

\(c;P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

để P ≥ 0 thì \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\ge0\)

mà \(\sqrt{x}\ge0\) nên tử luôn dương

\(⇒\: \left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3>0\left(dương\right)\\\sqrt{x}-3< 0\left(âm\right)\end{matrix}\right.⇒\: \left[{}\begin{matrix}x>9\\0\le x< 9\end{matrix}\right.\)

vì \(\sqrt{x}-3< 0\) nên \(\left[{}\begin{matrix}x>9\\x=0\end{matrix}\right.\) thì P ≥ 0