Câu 5: Một tấm huy chương vàng kỷ niệm được thiết kế độc đáo với mặt trước là một tác phẩm nghệ thuật tinh xảo. Huy chương có dạng hình tròn bán kính \(2\sqrt{2} \, \text{cm}\). Điểm nhấn của mặt trước tấm huy chương là hình ảnh một chiếc cúp vô địch được tạo thành từ hai đường parabol, một parabol có đỉnh \(B\) đi qua điểm \(D\), một parabol có đỉnh \(C\) đi qua điểm \(A\) và một nửa đường tròn có đường kính \(AD\), biết rằng \(ABCD\) là hình vuông cạnh 4 \(\text{cm}\). Để làm nổi bật giá trị và vẻ đẹp của chiếc cúp, người thợ kim hoàn đã sử dụng ba loại vàng khác nhau để trang trí lên mặt trước của chiếc huy chương.
Vàng 24K được dát ở phần gạch sọc tinh tế với giá 500.000 đồng/\(\text{cm}^2\).
Vàng 18K được dát lên phần còn lại của chiếc cúp (phần tô màu) với giá 400.000 đồng/\(\text{cm}^2\). Vàng 12K được dát lên phần còn lại của bề mặt trước huy chương với giá 300.000 đồng/\(\text{cm}^2\). Hãy tính tổng giá tiền của vàng được sử dụng để dát lên mặt trước của tấm huy chương kỷ niệm này. (đơn vị: Triệu đồng, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). \[8,97\]
Đặt hệ trục tọa độ với tâm hình vuông là gốc O, khi đó
A(-2,2), B(-2,-2), C(2,-2), D(2,2)
Vì huy chương là hình tròn bán kính 2√2 nên diện tích mặt trước huy chương là
S_tròn = πR^2 = π(2√2)^2 = 8π cm^2
Hai parabol có phương trình:
Parabol đỉnh B đi qua D: y = 1/4(x + 2)^2 - 2
Parabol đỉnh C đi qua A: y = 1/4(x - 2)^2 - 2
Phần gạch sọc là nửa đường tròn đường kính AD, bán kính bằng 2 nên
S_24K = 1/2 . π . 2^2 = 2π cm^2
Phần chiếc cúp còn lại là phần nằm giữa hai parabol trong hình vuông ABCD, trừ đi phần gạch sọc
Diện tích phần nằm giữa hai parabol trong hình vuông là
S_giữa 2 parabol = 8 cm^2
nên
S_18K = 8 - 2π cm^2
Phần còn lại của mặt trước huy chương là
S_12K = 8π - 8 cm^2
Tiền vàng cần dùng là
T = 500000 . 2π + 400000(8 - 2π) + 300000(8π - 8)
= 1000000π + 3200000 - 800000π + 2400000π - 2400000
= 2600000π + 800000 đồng
≈ 8968140.9 đồng
Đổi ra triệu đồng:
≈ 8.97 triệu đồng
Vậy tổng giá tiền vàng cần dùng là 8,97 triệu đồng.
