Question

P = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}

a) Tìm x sao cho \( P < \sqrt{P} \)

b) So sánh P với \(\frac{7}{2}\)

c) Tìm x nguyên để P đạt giá trị nguyên

d) Tìm x để P có giá trị nguyên

e) Tìm GTNN của P

Answer 1

ĐK: `x>=0`

a) `P<\sqrt{P}` 

Khi và chỉ khi: 

`0<P<1` 

\(\Rightarrow0< \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}< 1\Rightarrow3\sqrt{x}< \sqrt{x}+3\Leftrightarrow2\sqrt{x}< 3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow0\le x< \dfrac{9}{4}\)

b) Xét hiệu: 

\(P-\dfrac{7}{2}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{7}{2}=\dfrac{3\sqrt{x}-7\sqrt{x}-21}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{-4\sqrt{x}-21}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}< 0\Rightarrow P< \dfrac{7}{2}\)

c) \(P=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{3\left(\sqrt{x}+3\right)-9}{\sqrt{x}+3}=3-\dfrac{9}{\sqrt{x}+3}\)

Để P nguyên thì `9 ⋮ \sqrt{x}+3`

`=>\sqrt{x}+3 ∈ Ư(9)={1;-1;3;-3;9;-9}`

Mà: `\sqrt{x}+3>=3`

`=>\sqrt{x}+3 ∈{3;9}`

`=>\sqrt{x}∈{0;6}`

`=>x∈{0;36}` 

d) Ta có:

\(P=3-\dfrac{9}{\sqrt{x}+3}\)

P nguyên khi: \(\dfrac{9}{\sqrt{x}+3}\) nguyên 

TH1: `\sqrt{x}+3=1/k` (k nguyên,`k<=1/3`) 

`=>\sqrt{x}=1/k-3=>x=(1/k-3)^2` 

TH2: `\sqrt{x}+3=3/k` (k nguyên, `k<=1`)

`=>\sqrt{x}=3/k-3`

`=>x=(3/k-3)^2`  

TH3: `\sqrt{x}+3=9/k` (k nguyên, `k<=3`)

`=>\sqrt{x}=9/k-3`

`=>x=(9/k-3)^2` 

e) \(P=3-\dfrac{9}{\sqrt{x}+3}\)

Ta có: `\sqrt{x}>=0`

`=>\sqrt{x}+3>=3`

`=>`\(\dfrac{9}{\sqrt{x}+3}\le3\)

`=>`\(-\dfrac{9}{\text{​​}\text{​​}\sqrt{x}+3}\ge-3\Rightarrow P\ge3+\left(-3\right)=0\)

Dấu "=" xảy ra khi: `x=0`