Question

Câu 7. (3 điểm) Qua điểm \( S \) nằm ngoài đường tròn \( (O; R) \) vẽ 2 tiếp tuyến \( SM, SN \) đến đường tròn \( (O) \) (\( OS > 2R \) và \( M, N \) là tiếp điểm). Gọi \( I \) là trung điểm \( SO \).

a) Chứng minh tứ giác \( SMON \) nội tiếp.

b) Gọi \( K \) là giao điểm của đoạn thẳng \( OS \) và đường tròn \( (O) \); \( H \) là giao điểm của \( SO \) và \( MN \). Chứng minh \( MH \cdot KS = KH \cdot MS \).

c) Biết \( OS = R\sqrt{5} \). Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \( SMN \) theo \( R \).

Answer 1

a: Xét tứ giác SMON có 

nên SMON là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

SM,SN là các tiếp tuyến

Do đó: SM=SN

=>S nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra SO là đường trung trực của MN

=>SO\(\perp\)MN tại H và H là trung điểm của MN

Ta có: \(\widehat{HMK}+\widehat{OKM}=90^0\)(ΔMHK vuông tại H)

\(\widehat{SMK}+\widehat{OMK}=\widehat{SMO}=90^0\)

mà \(\widehat{OMK}=\widehat{OKM}\)(ΔOMK cân tại O)

nên \(\widehat{SMK}=\widehat{HMK}\)

=>MK là phân giác của góc HMS

Xét ΔMHS có MK là phân giác

nên \(\dfrac{KH}{KS}=\dfrac{MH}{MS}\)

=>\(KH\cdot MS=MH\cdot KS\)

c: ΔOMS vuông tại M

=>\(MO^2+MS^2=SO^2\)

=>\(MS=\sqrt{\left(R\sqrt{5}\right)^2-R^2}=2R\)

Xét ΔOMS vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot OS=MO\cdot MS\)

=>\(MH=\dfrac{R\cdot2R}{R\sqrt{5}}=\dfrac{2R}{\sqrt{5}}\)

H là trung điểm của MN

=>\(MN=2\cdot MH=2\cdot\dfrac{2R}{\sqrt{5}}=\dfrac{4R}{\sqrt{5}}\)

Chu vi tam giác SMN là:

\(C_{SMN}=SM+SN+MN=2R+2R+\dfrac{4R}{\sqrt{5}}=\dfrac{4R\sqrt{5}}{5}+4R\)

=>\(p_{SMN}=\dfrac{C_{SMN}}{2}=\dfrac{2R\sqrt{5}}{5}+2R=\dfrac{2R\sqrt{5}+10R}{5}=\dfrac{2R\left(\sqrt{5}+5\right)}{5}\)

 

Xét ΔSMO vuông tại M có \(sinMSO=\dfrac{OM}{OS}=\dfrac{R}{R\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

và \(cosMSO=\dfrac{SM}{SO}=\dfrac{2R}{R\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Xét (O) có

SM,SN là các tiếp tuyến

Do đó: SO là phân giác của góc MSN

=>\(sinMSN=sin\left(2\cdot MSO\right)\)

\(=2\cdot sinMSO\cdot cosMSO\)

\(=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}\)

Diện tích tam giác SMN là:

\(S_{SMN}=\dfrac{1}{2}\cdot SM\cdot SN\cdot sinMSN=\dfrac{1}{2}\cdot2R\cdot2R\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{16R^2}{10}=\dfrac{8R^2}{5}\)

Ta có: \(S_{SMN}=r_{SMN}\cdot p_{SMN}\)

=>\(r_{SMN}=\dfrac{8R^2}{5}:\dfrac{2R\left(\sqrt{5}+5\right)}{5}=\dfrac{8R^2}{2R\left(\sqrt{5}+5\right)}=\dfrac{4R}{5+\sqrt{5}}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{5}\cdot R\)