Question

Câu 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(2; -1; 5)\), \(B(1; 0; -2)\) và mặt phẳng \((P): 2x - y + z - 4 = 0\).

a) Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (2; -1; 1).\)

b) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) bằng 1.

c) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) qua \(A\) và vuông góc với \((P)\) là
\[
\begin{cases}
x = 2 + 2t \\
y = -1 - t \\
z = 5 + t
\end{cases}
\]

d) Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\) qua \(B\), vuông góc với đường thẳng \(AB\) và song song với mặt phẳng \((P)\) là \(\Delta: \frac{x - 1}{8} = \frac{y}{5} = \frac{z + 1}{-1}.\)

Answer 1

\(a)\overrightarrow{n}=\left(2;-1;1\right)\RightarrowĐúng\)

\(b)d\left(A;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|2.2+1+5-4\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+1^2}}=\sqrt{6}\Rightarrow Sai\)

\(c)\left(d\right)\perp\left(P\right)\Rightarrow\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n}=\left(2;-1;1\right)\)

\(A\left(2;-1;5\right)\in\left(d\right)\)

\(PTTS\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=-1-t\\z=5+t\end{matrix}\right.\) \(\RightarrowĐúng\)

\(d)\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;-7\right)\)

\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{n}=\left(2;-1;1\right)\) \(\left(\Delta//\left(P\right)\right)\)

\(\overrightarrow{AB}\perp\left(\Delta\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}\right]=\left(-6;-13;-1\right)=-\left(6;13;1\right)\)

\(B\left(1;0;-2\right)\in\left(\Delta\right)\)

\(\Rightarrow PTCT\left(\Delta\right):\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y}{13}=\dfrac{z+2}{1}\Rightarrow Sai\)