Question

Cho đường tròn (O) và dây BC không qua tâm. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ΔABC là tam giác nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) BCEF là tứ giác nội tiếp.

b) \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\).

Answer 1

a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BCEF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔCFB vuông tại F và ΔCDA vuông tại D có

\(\widehat{FCB}\) chung

Do đó: ΔCFB~ΔCDA
=>\(\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{FB}{DA}=\dfrac{FB}{AB}:\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{sinBAC}{sinABC}\)

=>\(\dfrac{BC}{sinBAC}=\dfrac{AC}{sinABC}\left(1\right)\)

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EB}{BC}:\dfrac{FC}{BC}=sinC:sinB=\dfrac{sinC}{sinB}\)

=>\(\dfrac{AB}{sinACB}=\dfrac{AC}{sinABC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{AB}{sinACB}=\dfrac{BC}{sinBAC}=\dfrac{AC}{sinABC}\)