Question

Câu 4: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((\alpha): 2x+y-z+3=0\) và \((\beta): x+y+z-1=0\). Phương trình chính tắc đường thẳng \(\Delta\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) có dạng \(\Delta: \frac{x+a}{c} = \frac{y-b}{d} = \frac{z}{1}\). Tính \(T = (a+b+c+3d).2024\)?

Answer 1

\(\left(\alpha\right):2x+y-z+3=0\Rightarrow\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;1;-1\right)\)

\(\left(\beta\right):x+y+z-1=0\Rightarrow\overrightarrow{n_{\beta}}=\left(1;1;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{n_{\beta}}\right]=\left(2;-3;1\right)\)

Cho \(z=0\) từ \(2\) phương trình \(\left(\alpha\right);\left(\beta\right)\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y+3=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(-4;5;0\right)\in\left(\Delta\right)\)

\(\Rightarrow PTCT\left(\Delta\right):\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{y-5}{-3}=\dfrac{z}{1}\)

Theo đề bài \(PTCT\left(\Delta\right):\dfrac{x+a}{c}=\dfrac{y-b}{d}=\dfrac{z}{1}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=5\\c=2\\d=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T=\left(a+b+c+3d\right).2024=\left(4+5+2+3.\left(-3\right)\right).2024=4048\)