Question

5.2 Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại \(H\). Kẻ đường kính \(AQ\) của đường tròn \((O)\) cắt \(BC\) tại \(I\).
a) Chứng minh 4 điểm \(A, F, H, E\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(\widehat{BAD} = \widehat{QAC}\)

c) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\). Chứng minh \(\triangle AEP\) đồng dạng \(\triangle ABI\) và \(IP \parallel HQ\)

Bài 6 (0,5 điểm) Một miếng hợp kim đồng và thiếc có khối lượng \(12 \, (\text{kg})\) chứa \(45\%\) đồng nguyên chất. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để được hợp kim mới có chứa \(40\%\) đồng nguyên chất?

Hết

Answer 1

5.2:

a: Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

=>A,F,H,E cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔACQ nội tiếp

AQ là đường kính

Do đó: ΔACQ vuông tại C

Xét (O) có

\(\widehat{ABC};\widehat{AQC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{AQC}\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔACQ vuông tại C có

\(\widehat{ABD}=\widehat{AQC}\)

Do đó: ΔADB~ΔACQ

=>\(\widehat{DAB}=\widehat{CAQ}\)

=>\(\widehat{DAB}+\widehat{DAI}=\widehat{CAQ}+\widehat{DAI}\)

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{DAC}\)

Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(=180^0-\widehat{FEC}\right)\)

Xét ΔAEP và ΔABI có

\(\widehat{AEP}=\widehat{ABI}\)

\(\widehat{EAP}=\widehat{BAI}\)

Do đó: ΔAEP~ΔABI