Question

Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: \( A = \frac{x-4}{\sqrt{x}} \) và \( B = \frac{3}{\sqrt{x-2}} + \frac{2\sqrt{x} + 3}{4-x} \) với \( x > 0, x \neq 4 \).

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} \).

3) Xét biểu thức \( P = AB \). Chứng minh \( P < P^2 \).

Answer 1

1: Khi x=9 thì \(A=\dfrac{9-4}{3}=\dfrac{5}{3}\)

2: \(B=\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}+3}{4-x}\)

\(=\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}+2\right)-2\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+3}{x-4}\)

3: \(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{x-4}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}\)

\(P^2-P=P\left(P-1\right)=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}-1\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}+9}{x}>0\)

=>\(P^2>P\)

=>\(P< P^2\)