Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A(1;1;1)\), \(B(-1;2;0)\), \(C(3;-1;2)\), \(D(-3;0;9)\). Điểm \(M\) thay đổi thuộc mặt phẳng \((\alpha): 2x-y+2z+7=0\). Khi \(M(a;b;c)\) thì biểu thức
\[
T = 3\left(\frac{MA}{MD}\right)^2 + 5\left(\frac{MB}{MD}\right)^2 - 7\left(\frac{MC}{MD}\right)^2
\]
đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a^2 + b^2 + c^2\) bằng bao nhiêu?
Bài này bạn dùng phương pháp tâm tỉ cự
\(3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow3MA^2+5MB^2-7MC^2=MI^2+3IA^2+5IB^2-7IC^2\)
Với \(I\) có tọa độ theo công thức \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{3x_A+5x_B-8x_C}{3+5-8}\\y_I=\dfrac{3y_A+5y_B-8y_C}{3+5-8}\\z_I=\dfrac{3z_A+5z_B-8z_C}{3+5-8}\end{matrix}\right.\)
\(3IA^2+5IB^2-7IC^2\) là hằng số
\(\Rightarrow T_{min}\) khi \(\dfrac{MI^2}{MD^2}\left(min\right)\) sau đó giải ra để tính \(a;b;c\)
