Bài 4. Từ điểm \( M \) nằm ngoài đường tròn \( (O) \), kẻ các tiếp tuyến \( MA, MB \) với \( (O) \) ( \( B, C \) là các tiếp điểm). Kẻ đường kính \( AC \) của \( (O) \). Đoạn thẳng \( MC \) cắt \( AB \) tại \( K \) và cắt đường tròn \( (O) \) tại điểm thứ hai \( D \). Gọi \( I, H \) lần lượt là các giao điểm của \( MO \) với \( BD, AB \).
a) Chứng minh bốn điểm \( M, A, O, B \) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \( MO \) song song với \( BC \) và \( IM^2 = ID \cdot IB \).
c) Gọi \( L \) là giao điểm của \( IK, HC \). Chứng minh ba điểm \( M, B, L \) thẳng hàng.
a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại B
=>BA\(\perp\)BC
mà MO\(\perp\)BC
nên MO//BA
=>\(\widehat{IMD}=\widehat{DCB}\)(3)
Xét (O) có
\(\widehat{DCB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB
\(\widehat{MBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BD
Do đó: \(\widehat{DCB}=\widehat{MBD}\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(\widehat{IMD}=\widehat{IBM}\)
Xét ΔIMD và ΔIBM có
\(\widehat{IMD}=\widehat{IBM}\)
\(\widehat{MID}\) chung
Do đó: ΔIMD~ΔIBM
=>\(\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{ID}{IM}\)
=>\(IM^2=ID\cdot IB\)
