Question

Một con dế nhảy ngẫu nhiên giữa bốn chiếc lá, mỗi lần nhảy đến một trong ba chiếc lá khác với xác suất bằng nhau. Sau bốn lần nhảy, xác suất con dế quay trở lại lá nơi nó bắt đầu là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Answer 1

- Gọi \(L_1;L_2;L_3;L_4\)​ là 4 chiếc lá

- Giả sử con dế bắt đầu từ \(L_1\)

- Mỗi lần nhảy, con dế chuyển sang một trong \(3\) lá còn lại với xác suất bằng nhau là \(\dfrac{1}{3}\)

\(P_n:\) Xác suất con dế ở \(L_1\)​ sau \(n\) bước nhảy

\(Q_n=1-P_n:\) Xác suất con dế không ở \(L_1\)​ sau \(n\) bước nhảy

\(\Rightarrow P_0=1\) (con dế bắt đầu từ \(L_1\)); \(Q_0=0\)

- Nếu ở \(L_1\) tại bước \(n\), thì bước \(n+1\) phải rời đi (vì không ở lại lá hiện tại)

\(\Rightarrow P_{n+1}=0\) (nếu ở \(L_1\)​ tại bước \(n\))

- Nếu không ở \(L_1\)​ tại bước \(n\), thì bước \(n+1\) có \(\dfrac{1}{3}\)​ xác suất quay về \(L_1\)​

\(\Rightarrow P_{n+1}=\dfrac{1}{3}Q_n=\dfrac{1}{3}\left(1-P_n\right)\)

\(P_0=1\)  (bắt đầu ở \(L_1\))

\(P_1=\dfrac{1}{3}\left(1-P_0\right)=0\)

\(P_2=\dfrac{1}{3}\left(1-P_1\right)=\dfrac{1}{3}\)

\(P_3=\dfrac{1}{3}\left(1-P_2\right)=\dfrac{1}{3}.\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{9}\)

\(P_4=\dfrac{1}{3}\left(1-P_3\right)=\dfrac{1}{3}.\left(1-\dfrac{2}{9}\right)=\dfrac{7}{27}\approx0,26\)

Vậy xác suất con dế quay về \(L_1\)​ sau \(4\) bước nhảy là: \(P_4=\dfrac{7}{27}=0,26\)