Câu 3. Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông cạnh \( a \), đường thẳng \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy và \( SA = 2a \).
a. Chứng minh rằng \( BC \) vuông góc với mp \( (SBA) \).
b. Tính góc giữa đường thẳng \( SC \) và \( (ABCD) \).
c. Tính khoảng cách từ trung điểm \( M \) của cạnh \( CD \) đến mặt phẳng \( (SBD) \).
a: Ta có: BC\(\perp\)BA(ABCD là hình vuông)
BC\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))
mà BA,SA cùng thuộc mp(SAB)
nên BC\(\perp\)(SAB)
b: \(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)
ABCD là hình vuông
=>\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
nên \(\widehat{SCA}\simeq55^0\)
=>\(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}\simeq55^0\)
c) \(h=d\left(M;\left(SBD\right)\right)\)
Ta có : \(M\) là trung điểm \(CD\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow V_{M.BCD}=\dfrac{1}{2}.V_{S.BCD}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.SA.\left(\dfrac{1}{2}S_{ABCD}\right)=\dfrac{1}{12}.2a.a^2=\dfrac{1}{6}a^3\)
mà \(V_{M.BCD}=\dfrac{1}{3}.h.S_{SBD}\)
\(\Rightarrow h=\dfrac{3V_{M.BCD}}{S_{SBD}}=\dfrac{3.\dfrac{1}{6}a^3}{S_{SBD}}=\dfrac{a^3}{2.S_{SBD}}\left(1\right)\)
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Tam giác vuông \(SOD\) vuông tại \(O\left(\Delta SAB.cân.tại.S\Rightarrow SO\perp BD\right)\)
\(SO=\sqrt{SD^2-OD^2}\)
mà \(SD^2=SA^2+AD^2=4a^2+a^2=5a^2\) \(\left(\Delta SAD.vuông.tại.A\right)\)
\(\Rightarrow SO=\sqrt{5a^2-\dfrac{2a^2}{4}}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\)
\(S_{SBD}=\dfrac{1}{2}.SO.BD=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{3}{2}a^2\)
\(\left(1\right)\Rightarrow h=\dfrac{a^3}{2.\dfrac{3}{2}a^2}=\dfrac{a}{3}\)
Vậy \(d\left(M;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{a}{3}\)
(Dùng phương pháp tọa độ véc tơ cũng ra kết quả như trên)
