Question

Bài 1. Cho tam giác \( ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O) \). \( M \) là điểm tùy ý trên cung nhỏ \( BC \) ( \( MB < MC \) ).
Gọi \( D, E, H \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên \( BC, CA, AB \)

Chứng minh

a) Các tứ giác \( MDEC, BDMH \) nội tiếp đường tròn

b) \( MH \cdot MC = ME \cdot MB \)

c) Ba điểm \( H, D, E \) thẳng hàng

Answer 1

a: Xét tứ giác MDEC có \(\widehat{MDC}=\widehat{MEC}=90^0\)

nên MDEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác MDBH có \(\widehat{MHB}+\widehat{MDB}=90^0+90^0=180^0\)

nên MDBH là tứ giác nội tiếp

b: MDBH là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MBH}=\widehat{MDH}\)

Vì A,B,M,C cùng thuộc (O)

nên ABMC là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{MBH}+\widehat{MBA}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{MBA}+\widehat{MCE}=180^0\)(ABMC nội tiếp)

Do đó: \(\widehat{MBH}=\widehat{MCE}\)

Xét ΔMBH vuông tại H và ΔMCE vuông tại E có

\(\widehat{MBH}=\widehat{MCE}\)

Do đó: ΔMBH~ΔMCE

=>\(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MH}{ME}\)

=>\(MB\cdot ME=MH\cdot MC\)

c: MDEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MDE}+\widehat{MCE}=180^0\)

mà \(\widehat{MCE}+\widehat{MBA}=180^0\)(ABMC nội tiếp)

nên \(\widehat{MDE}=\widehat{MBA}\)

mà \(\widehat{MBA}+\widehat{MBH}=180^0\)(hai góc kề bù)

và \(\widehat{MBH}=\widehat{MDH}\)(MDBH nội tiếp)

nên \(\widehat{MDE}+\widehat{MDH}=180^0\)

=>H,D,E thẳng hàng