Một chiếc thang dài \(9\) mét tựa vào bức tường thẳng đứng trên mặt đất bằng phẳng. Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi là \(2 \, \text{(m/s)}\) thì đầu trên của thang sẽ trượt xuống dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang cách mặt đất \(3\) mét thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu? (đơn vị \((m/s)\) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy:\) \(O\) tại chân tường; \(Ox\) chiều dươnghướng ra ngoài chân tường; \(Oy\) chiều dương hướng lên trên đầu thang
\(x\left(m\right):\) là khoảng cách từ chân thang đến tường
\(y\left(m\right):\) là chiều cao của đầu thang so với mặt đất
Chiều dài thang \(L=9\left(m\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9^2=81\left(Pitago\right)\left(1\right)\)
Đạo hàm \(2\) vế theo thời gian \(t\) ta được :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x.x'_t+2y.y'_t=0\)
\(\Leftrightarrow x.x'_t+y.y'_t=0\)
\(\Rightarrow y'_t=-\dfrac{x.x'_t}{y}\left(2\right)\)
Theo đề bài ta có :
\(y=3;\left(1\right)\Rightarrow x^2+9=81\Leftrightarrow x^2=72\Leftrightarrow x=6\sqrt{2}\left(m\right)\)
mà \(x'_t=2\left(m/s\right)\) là vận tốc khi chân thang di chuyển
\(\left(2\right)\Rightarrow y'_t=-\dfrac{6\sqrt{2}.2}{3}=-4\sqrt{2}\approx-5,66\left(m/s\right)\)
Vậy vận tốc của đầu thang khi \(y=3\) là \(5,66\left(m/s\right)\) (hướng xuống dưới)
