Question

Câu 5. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn \((O; R)\), đường kính \(AB = 2R\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) cùng phía với nửa đường tròn vẽ hai tia tiếp tuyến \(Ax, By\) với nửa đường tròn \((O)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(C\) là trung điểm của \(OA\). Trên \(Ax\) lấy điểm \(E\), qua \(C\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(CE\) và cắt \(By\) tại \(F\). Kẻ \(CD\) vuông góc với \(EF\) \((D\) thuộc \(EF)\).

a) Chứng minh tứ giác \(ACDE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AD\) và \(CE\), \(N\) là giao điểm của \(DB\) và \(CF\). Chứng minh \(AD \perp DB\) và \(MN \parallel AB\).

c) Chứng minh tích \(AE \cdot BF\) không đổi. Xác định vị trí của các điểm \(E\) trên \(Ax\) và \(F\) trên \(By\) sao cho diện tích tam giác \(CEF\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

a: xét tứ giác EACD có \(\widehat{EAC}+\widehat{EDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên EACD là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó ΔADB vuông tại D

=>DA\(\perp\)DB tại D

Xét tứ giác DCBF có \(\widehat{CDF}+\widehat{CBF}=90^0+90^0=180^0\)

nên DCBF là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

\(\widehat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

\(\widehat{DBF}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BF và dây cung BD

Do đó: \(\widehat{DAB}=\widehat{DBF}\)

Xét tứ giác DMCN có \(\widehat{DMC}+\widehat{DNC}=90^0+90^0=180^0\)

nên DMCN là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DMN}=\widehat{DCN}\)

mà \(\widehat{DCN}=\widehat{DCF}=\widehat{DBF}\)(BFDC nội tiếp)

và \(\widehat{DBF}=\widehat{DAB}\)

nên \(\widehat{DMN}=\widehat{DAB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//AB