Question

Câu 17: (2.25 điểm)

Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(8\text{cm}\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = 2\text{cm}\). Gọi \(I\) là giao điểm của tia \(DM\) và tia \(CB\). Qua \(D\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(DM\) và đường thẳng này cắt \(BC\) tại \(K\).

a) Tính độ dài \(DK\)

b) Chứng minh hai tam giác \(BMI\) và \(CDK\) đồng dạng

c) Chứng minh hệ thức \(DM^2 = KC \cdot KI\).

Answer 1

a: Ta có: AM+MB=AB

=>AM=AB-MB=8-2=6(cm)

ΔADM vuông tại A

=>\(AD^2+AM^2=DM^2\)

=>\(DM=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔIDC có MB//DC

nên \(\dfrac{MB}{DC}=\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{IM}{ID}\)

=>\(\dfrac{IB}{IB+BC}=\dfrac{IM}{IM+MD}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(\dfrac{IB}{IB+8}=\dfrac{IM}{IM+10}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4IB=IB+8\\4IM=IM+10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}IB=\dfrac{8}{3}\left(cm\right)\\IM=\dfrac{10}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(DI=DM+MI=10+\dfrac{10}{3}=\dfrac{40}{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔDIK vuông tại D có DC là đường cao

nên \(\dfrac{1}{DC^2}=\dfrac{1}{DI^2}+\dfrac{1}{DK^2}\)

=>\(\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{40}{3}\right)^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{9}{1600}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{17}{800}\)

=>\(DK^2=\dfrac{800}{17}=\dfrac{1600}{34}\)

=>\(DK=\sqrt{\dfrac{1600}{34}}=\dfrac{40}{\sqrt{34}}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBMI vuông tại B và ΔCKD vuông tại C có

\(\widehat{IMB}=\widehat{CKD}\left(=\widehat{MDC}\right)\)

Do đó: ΔBMI~ΔCKD