Question

Bài 7. (3,0 điểm)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ đường kính BK của đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của AK và đường tròn (O).

a) Chứng minh: \(OA \perp BC\) tại H và \(AH \cdot AO = AE \cdot AK\).

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AH. Chứng minh: HE vuông góc EI.

c) Giả sử \(OA = 2R\). Tính diện tích tam giác ABC theo R.

--------- HẾT ---------

Answer 1

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBKE nội tiếp

BK là đường kính

Do đó: ΔBKE vuông tại E

=>BE\(\perp\)AK tại E

Xét ΔABK vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot AK=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(AE\cdot AK=AH\cdot AO\)

c: ΔABO vuông tại B

=>\(BA^2+BO^2=OA^2\)

=>\(BA=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

Xét ΔBAO vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BAO}=30^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔABC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

nên ΔABC đều

=>\(S_{ABC}=AB^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}\cdot R^2}{4}\)