Bài 1. Cho phương trình \(x^2 - mx - m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình:
a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại.
b) Có hai nghiệm âm phân biệt.
c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
d) Có hai nghiệm \(x_1 : x_2\) thỏa mãn \(|x_1 - x_2| = 3\).
Ta có phương trình bậc hai:
x2−mx−(m+1)=0x^2 - mx - (m+1) = 0x2−mx−(m+1)=0
Ta gọi hai nghiệm của phương trình là x1x_1x1 và x2x_2x2, theo định lý Vi-ét:
x1+x2=mx_1 + x_2 = mx1+x2=m x1x2=−(m+1)x_1 x_2 = -(m+1)x1x2=−(m+1)
câu a)Giả sử một nghiệm là x1=5x_1 = 5x1=5, thay vào phương trình tổng nghiệm:
5+x2=m⇒x2=m−55 + x_2 = m \Rightarrow x_2 = m - 55+x2=m⇒x2=m−5
Thay vào phương trình tích nghiệm:
5(m−5)=−(m+1)5(m - 5) = -(m+1)5(m−5)=−(m+1) 5m−25=−m−15m - 25 = -m - 15m−25=−m−1 6m=24⇒m=46m = 24 \Rightarrow m = 46m=24⇒m=4
Thay m=4m = 4m=4 vào phương trình tổng nghiệm:
x2=4−5=−1x_2 = 4 - 5 = -1x2=4−5=−1
a: Thay x=5 vào phương trình, ta được:
\(5^2-5m-m-1=0\)
=>-6m+24=0
=>-6m=-24
=>m=4
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m-1\end{matrix}\right.\)
\(x_1+x_2=m\)
=>\(x_2+5=4\)
=>\(x_2=4-5=-1\)
b: \(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\left(-m-1\right)=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)
Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}>0\\x_1+x_2< 0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2>0\\m< 0\\-m-1>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m+2\ne0\\m< 0\\-m>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m\ne-2\end{matrix}\right.\)
c: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì ac<0
=>-m-1<0
=>-m<1
=>m>-1
Để nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương thì \(x_1+x_2< 0\)
=>m<0
=>-1<m<0
d: \(\left|x_1-x_2\right|=3\)
=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=3^2=9\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)
=>\(m^2-4\left(-m-1\right)=9\)
=>\(m^2+4m-5=0\)
=>(m+5)(m-1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-5\left(nhận\right)\\m=1\left(nhận\right)\\\end{matrix}\right.\)
