Question

Bài 43: Cho đường tròn \((O; R)\) và một điểm \(M\) cố định nằm ngoài đường tròn \((O)\). Từ \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA, MB\) tới \((O) \ (A, B \ \text{là các tiếp điểm})\), \(MO\) cắt \(AB\) tại \(H\). Một đường thẳng \(d\) thay đổi đi qua \(M\) nhưng không đi qua \(O\) cắt đường tròn \((O)\) tại hai điểm \(N\) và \(P \ (N \ \text{nằm giữa} \ M \ \text{và} \ P)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(NP\). Chứng minh:
a. Bốn điểm \(M, A, I, O\) cùng thuộc một đường tròn.
b. \(OH \cdot OM\) không đổi.
c. Tiếp tuyến của \((O)\) tại \(N\) và \(P\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(\triangle IOM \sim \triangle HOF\) và điểm \(F\) chuyển động trên một đường thẳng cố định khi đường thẳng \(d\) quay quanh \(M\) mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài.

Answer 1

a: ΔONP cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)NP tại I

Xét tứ giác OIAM có \(\widehat{OIM}=\widehat{OAM}=90^0\)

nên OIAM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

=>O,I,A,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(4)

Ta có; OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(5)

Từ (4),(5) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

c: Xét (O) có

FN,FP là các tiếp tuyến

Do đó: FN=FP

=>F nằm trên đường trung trực của NP(1)

Ta có: IN=IP

=>I nằm trên đường trung trực của NP(2)

Ta có: ON=OP

=>O nằm trên đường trung trực của NP(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra O,I,F thẳng hàng

=>OF\(\perp\)NP tại I

Xét ΔONF vuông tại N có NI là đường cao

nên \(OI\cdot OF=ON^2=R^2\)

mà \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\)

nên \(OI\cdot OF=OH\cdot OM\)

=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OF}\)

Xét ΔOIM và ΔOHF có

\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OF}\)

\(\widehat{IOM}\) chung

Do đó: ΔOIM~ΔOHF

=>\(\widehat{OIM}=\widehat{OHF}=90^0\)

=>HF\(\perp\)HO tại H

mà HA\(\perp\)HO tại H

và HF,HA có điểm chung là H

nên H,A,F thẳng hàng

mà A,H,B thẳng hàng

nên F nằm trên đường thẳng AB

=>F cố định