Gọi \(P_n\) là xác suất con bọ ở đỉnh \(A\) sau khi bò \(n\left(mét\right)\)
\(Q_n\) là xác suất con bọ ở một trong các đỉnh \(B;C;D\) sau khi bò \(n\left(mét\right)\)
- Từ \(A\), con bọ có \(3\left(cách\right)\) để đến \(B;C;D\), mỗi cách có xác suất là \(\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P_{n+1}=\dfrac{1}{3}Q_n\left(1\right)\) và \(P_0=1\) (Ban đầu con bọ ở đỉnh \(A\))
\(\Rightarrow\) Từ \(B;C;D\) con bọ có \(2\left(cách\right)\) để đến \(2\) đỉnh còn lại, mỗi cách có xác xuất là \(Q_{n+1}=P_n+\dfrac{2}{3}Q_n\left(2\right)\) và \(Q_0=0\) (Ban đầu con bọ không ở các đỉnh \(B;C;D\))
Ta tính lần lượt với \(n=0\rightarrow6\) của \(\left(1\right)\&\left(2\right)\)
\(n=0\Rightarrow P_1=\dfrac{1}{3}.0=0;Q_1=1+\dfrac{2}{3}.0=1\)
\(n=1\Rightarrow P_2=\dfrac{1}{3}.1=\dfrac{1}{3};Q_2=0+\dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}\)
\(n=2\Rightarrow P_3=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9};Q_3=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{9}\)
\(n=3\Rightarrow P_4=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7}{9}=\dfrac{7}{27};Q_4=\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{7}{9}=\dfrac{20}{27}\)
\(n=4\Rightarrow P_5=\dfrac{1}{3}.\dfrac{20}{27}=\dfrac{20}{81};Q_5=\dfrac{7}{27}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{20}{27}=\dfrac{61}{81}\)
\(n=5\Rightarrow P_6=\dfrac{1}{3}.\dfrac{61}{81}=\dfrac{61}{243};Q_6=\dfrac{20}{81}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{61}{81}=\dfrac{182}{243}\)
\(n=6\Rightarrow P_7=\dfrac{1}{3}.\dfrac{182}{243}=\dfrac{182}{729}\)
\(\Rightarrow p=\dfrac{n}{729}=\dfrac{182}{729}\Rightarrow n=182\)
