b) Tính diện tích tam giác \( ABC \).
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), cho tam giác \( ABC \) có \( A(-3;4), B(-4;5) \), đỉnh \( C \) thuộc đường thẳng \( y+3=0 \), trọng tâm \( G \) thuộc đường thẳng \( x-y+5=0 \).
a) Tìm tọa độ trọng tâm \( G \).
b) Tính diện tích tam giác \( ABC \).
\( x-y+5=0 \)
a: C thuộc đường thẳng y+3=0
=>C(x;-3)
G thuộc đường thẳng x-y+5=0
=>G(y-5;y)
A(-3;4); B(-4;5); C(x;-3); G(y-5;y)
G là trọng tâm của ΔABC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3+\left(-4\right)+x=3\cdot\left(y-5\right)\\4+5+\left(-3\right)=3y\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3y-15=-7+x\\3y=4+2=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3y-15+7=3y-8=6-8=-2\\y=\dfrac{6}{3}=2\end{matrix}\right.\)
=>G(2-5;2)
=>G(-3;2)
x=-2;y=2
=>C(-2;-3)
b: A(-3;4); B(-4;5); C(-2;-3)
\(AB=\sqrt{\left(-4+3\right)^2+\left(5-4\right)^2}=\sqrt{2}\)
\(AC=\sqrt{\left(-2+3\right)^2+\left(-3-4\right)^2}=5\sqrt{2}\)
\(BC=\sqrt{\left(-2+4\right)^2+\left(-3-5\right)^2}=2\sqrt{17}\)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{2+50-68}{2\cdot\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}}=\dfrac{-4}{5}\)
=>\(sinBAC=\sqrt{1-\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2}=\dfrac{3}{5}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinBAC=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot\dfrac{3}{5}=3\)
a) \(C\in y+3=0\Rightarrow C\left(x;-3\right)\)
\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)
\(\Rightarrow G\left(\dfrac{-3-4+x}{3};\dfrac{4+5-3}{3}\right)=\left(\dfrac{x-7}{3};2\right)\)
\(G\in x-y+5=0\Leftrightarrow\dfrac{x-7}{3}-2+5=0\Leftrightarrow x=-2\)
\(\Rightarrow C\left(-2;-3\right);G\left(-3;2\right)\)
b) \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(1;-7\right)\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|-1.\left(-7\right)-1.1\right|=3\left(đvdt\right)\)
