Bài này ko vẽ hình được, nó rối quá. Nhưng có thể tận dụng tính đối xứng để đơn giản hóa. 2 trụ đều đối xứng 2 phía nên thực chất phần H có thể chia làm 8 phần bằng nhau (dùng mp qua 2 trục chặt H làm đôi, rồi ở nửa trên cắt làm 4 góc bằng nhau, tính 1 góc là đủ)
Lúc đó có thể đặt hệ trục tọa độ vào.
Đại loại 1 phần bị cắt nó kiểu thế này, để ý kĩ ở đây có 2 yếu tố quan trọng: các mặt OAC, OAB là các đường tròn bán kính 3, dẫn tới nếu cắt ngang qua bằng 1 mp song song đáy thì ta luôn được 1 hình vuông => biết được pt diện tích thiết diện mặt cắt phụ thuộc độ cao z, từ đó tính tích phân thể tích dễ dàng
- Đặt gốc tọa độ \(O\) tại giao điểm của hai trục của hai khối trụ
- Chọn trục \(Ox;Oy\) lần lượt là trục của hai khối trụ
- Chọn trục \(Oz\) vuông góc với mặt phẳng \(Oxy\)
Khối trụ thứ nhất có trục \(Ox\), bất phương trình: \(y^2+z^2\le3^2=9\left(1\right)\)
Khối trụ thứ hai có trục \(Oy\), bất phương trình : \(x^2+z^2\le9\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\) Phần giao nhau \(\left(H\right)\) thỏa mãn \(\left(1\right)\&\left(2\right)\)
\(\Rightarrow V_{\left(H\right)}\) sẽ tính thể tích bằng cách cắt \(\left(H\right)\) theo các mặt phẳng vuông góc với trục \(Oz\)
Với mỗi giá trị \(z\) cố định trong khoảng \(\left[-3;3\right]\), mặt cắt là một hình vuông trong mặt phẳng \(Oxy\) với cạnh là \(\sqrt{9-z^2}+\sqrt{9-z^2}=2\sqrt{9-z^2}\)
Diện tích mặt cắt tại độ cao \(z\) là: \(S\left(z\right)=\left(2\sqrt{9-z^2}\right)^2=4\left(9-z^2\right)\)
\(\Rightarrow V_{\left(H\right)}=\int\limits^3_{-3}S\left(z\right)dz=\int\limits^3_{-3}4\left(9-z^2\right)dz=8\int\limits^3_0\left(9-z^2\right)dz\) (Tính đối xứng)
\(\Rightarrow V_{\left(H\right)}=8\left[9z-\dfrac{z^3}{3}\right]^3_0=8\left(27-9\right)=144\left(đvtt\right)\)
Kiểm tra lại công thức thể tích giao của hai khối trụ có bán kính \(R\)
\(V=\dfrac{16R^3}{3}=\dfrac{16.3^3}{3}=144\left(thỏa\right)\)
