Question

2) Cho tam giác nhọn \(ABC (AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O)\), với các đường cao \(AD, BE\) và \(CF\) đồng quy tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp.

b) Đường cao \(CF\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai \(N\), gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(EF\) và \(I\) là trực tâm tam giác \(AEF\). Chứng minh \(BN \cdot BE = BF \cdot BA\) và tứ giác \(EHFI\) là hình bình hành.

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(DK\). Chứng minh \(AM\) đi qua trung điểm của \(EF\).

Answer 1

a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔBFH vuông tại F và ΔBEA vuông tại E có

\(\widehat{FBH}\) chung

Do đó: ΔBFH~ΔBEA

=>\(\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{BH}{BA}\)

=>\(BF\cdot BA=BH\cdot BE\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{BNC};\widehat{BAC}\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{BNC}=\widehat{BAC}\)

mà \(\widehat{BAC}=\widehat{BHF}\left(=90^0-\widehat{FBH}\right)\)

nên \(\widehat{BNH}=\widehat{BHN}\)

=>BN=BH(2)

Từ (1),(2) suy ra \(BF\cdot BA=BN\cdot BE\)

I là trực tâm của ΔAEF

=>EI\(\perp\)AF

mà FH\(\perp\)AF

nên EI//FH

Ta có: I là trực tâm của ΔAEF

=>FI\(\perp\)AE

mà EH\(\perp\)AE

nên EH//FI

Xét tứ giác EIFH có

EI//FH

EH//FI

Do đó: EIFH là hình bình hành