Question

Bài 1. Cho tam giác ABC đều. Điểm M thay đổi trên cạnh AC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng MH tại N.
a) Chứng minh bốn điểm B, H, N, C cùng thuộc đường tròn (O)
b) Đường tròn (O) cắt cạnh AC tại điểm thứ hai là K. Chứng minh HK // BC.

Bài 2. Cho đường tròn (O ; R), dây AB cố định không đi qua tâm. Đường kính CD vuông góc với dây AB tại K (D thuộc cung nhỏ AB). Trên đoạn BK lấy điểm F, tia DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai M.
a) Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp

b) Tia CM cắt tia AB tại E. Chứng minh rằng \( DF \cdot DM + CM \cdot CE = 4R^2 \)

c) Tia CF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N, tia MK cắt (O) tại điểm thứ hai G. Chứng minh rằng \( AB / GN \).

Answer 1

Bài 1:

a: Xét tứ giác BHNC có \(\widehat{BHN}+\widehat{BCN}=90^0+90^0=180^0\)

nên BHNC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BN

=>B,H,N,C cùng thuộc đường tròn tâm O, đường kính BN

b: BHKC nội tiếp

=>\(\widehat{HKC}+\widehat{HBC}=180^0\)

=>\(\widehat{HKC}=180^0-60^0=120^0\)

Ta có: \(\widehat{HKC}+\widehat{HKA}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{AKH}=180^0-120^0=60^0\)

=>\(\widehat{AKH}=\widehat{ACB}\left(=60^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HK//BC

Bài 2:

a: Xét (O) có

ΔDMC nội tiếp

DC là đường kính

Do đó: ΔDMC vuông tại M

=>DM\(\perp\)EC tại M

Xét tứ giác KFMC có \(\widehat{FKC}+\widehat{FMC}=90^0+90^0=180^0\)

nên KFMC là tứ giác nội tiếp

b: 

Xét ΔDKF vuông tại K và ΔDMC vuông tại M có

\(\widehat{KDF}\) chung

Do đó: ΔDKF~ΔDMC

=>\(\dfrac{DK}{DM}=\dfrac{DF}{DC}\)

=>\(DF\cdot DM=DK\cdot DC\)

Xét ΔCKE vuông tại K và ΔCMD vuông tại M có

\(\widehat{KCE}\) chung

Do đó: ΔCKE~ΔCMD

=>\(\dfrac{CK}{CM}=\dfrac{CE}{CD}\)

=>\(CK\cdot CD=CE\cdot CM\)

\(DF\cdot DM+CM\cdot CE\)

\(=DK\cdot DC+CK\cdot CD=DC\left(DK+CK\right)=CD^2\)